Theorem 0fi 7141

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
0fi	|- (/) e. Fin

Proof of Theorem 0fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4716	. 2 |- (/) e. om
2		nnfi 7127	. 2 |- ( (/) e. om -> (/) e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- (/) e. Fin

Syntax hints:   e. wcel 2203   (/)c0 3508   omcom 4712   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  xpfi  7192  ssfirab  7197  fnfi  7203  iunfidisj  7213  fidcenumlemr  7225  fczfsuppd  7250  0fsupp  7251  snopfsuppdc  7252  fzfig  10792  fihasheq0  11156  hash0  11159  hashfibc  11207  fczpsrbag  14820  uhgr0enedgfi  16231  vtxdgfi0e  16290