Theorem 0fi 7154

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
0fi	|- (/) e. Fin

Proof of Theorem 0fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4721	. 2 |- (/) e. om
2		nnfi 7140	. 2 |- ( (/) e. om -> (/) e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- (/) e. Fin

Syntax hints:   e. wcel 2205   (/)c0 3512   omcom 4717   Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  xpfi  7205  ssfirab  7210  fnfi  7216  iunfidisj  7226  fidcenumlemr  7238  fczfsuppd  7263  0fsupp  7264  snopfsuppdc  7265  fzfig  10816  fihasheq0  11181  hash0  11184  hashfibc  11232  fczpsrbag  14946  uhgr0enedgfi  16357  vtxdgfi0e  16416