Theorem fiprc 6793

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	⊢ Fin ∉ V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 4433	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V
2		vex 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		snfig 6792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦} ∈ Fin)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
5		eleq1 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦} ∈ Fin))
6	4, 5	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	exlimiv 1591	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
8	7	abssi 3222	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin
9		ssexg 4128	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin ∧ Fin ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
10	8, 9	mpan 422	. . . 4 ⊢ (Fin ∈ V → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
11	10	con3i 627	. . 3 ⊢ (¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V → ¬ Fin ∈ V)
12		df-nel 2436	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V ↔ ¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
13		df-nel 2436	. . 3 ⊢ (Fin ∉ V ↔ ¬ Fin ∈ V)
14	11, 12, 13	3imtr4i 200	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V → Fin ∉ V)
15	1, 14	ax-mp 5	1 ⊢ Fin ∉ V

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  {cab 2156   ∉ wnel 2435  Vcvv 2730   ⊆ wss 3121  {csn 3583  Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-1o 6395  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by: (None)