Theorem fiprc 6892

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	⊢ Fin ∉ V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 4493	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V
2		vex 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		snfig 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦} ∈ Fin)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
5		eleq1 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦} ∈ Fin))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	exlimiv 1620	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
8	7	abssi 3267	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin
9		ssexg 4182	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin ∧ Fin ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
10	8, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (Fin ∈ V → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
11	10	con3i 633	. . 3 ⊢ (¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V → ¬ Fin ∈ V)
12		df-nel 2471	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V ↔ ¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
13		df-nel 2471	. . 3 ⊢ (Fin ∉ V ↔ ¬ Fin ∈ V)
14	11, 12, 13	3imtr4i 201	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V → Fin ∉ V)
15	1, 14	ax-mp 5	1 ⊢ Fin ∉ V

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1372  ∃wex 1514   ∈ wcel 2175  {cab 2190   ∉ wnel 2470  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165  {csn 3632  Fincfn 6817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-1o 6492  df-en 6818  df-fin 6820

This theorem is referenced by: (None)