Theorem fiprc 6702

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	⊢ Fin ∉ V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 4364	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V
2		vex 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		snfig 6701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦} ∈ Fin)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
5		eleq1 2200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦} ∈ Fin))
6	4, 5	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	exlimiv 1577	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
8	7	abssi 3167	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin
9		ssexg 4062	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin ∧ Fin ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
10	8, 9	mpan 420	. . . 4 ⊢ (Fin ∈ V → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
11	10	con3i 621	. . 3 ⊢ (¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V → ¬ Fin ∈ V)
12		df-nel 2402	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V ↔ ¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
13		df-nel 2402	. . 3 ⊢ (Fin ∉ V ↔ ¬ Fin ∈ V)
14	11, 12, 13	3imtr4i 200	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V → Fin ∉ V)
15	1, 14	ax-mp 5	1 ⊢ Fin ∉ V

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  {cab 2123   ∉ wnel 2401  Vcvv 2681   ⊆ wss 3066  {csn 3522  Fincfn 6627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-1o 6306  df-en 6628  df-fin 6630

This theorem is referenced by: (None)