Theorem fiprc 6817

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	⊢ Fin ∉ V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 4450	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V
2		vex 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		snfig 6816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦} ∈ Fin)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
5		eleq1 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦} ∈ Fin))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	exlimiv 1598	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
8	7	abssi 3232	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin
9		ssexg 4144	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin ∧ Fin ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
10	8, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (Fin ∈ V → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
11	10	con3i 632	. . 3 ⊢ (¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V → ¬ Fin ∈ V)
12		df-nel 2443	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V ↔ ¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
13		df-nel 2443	. . 3 ⊢ (Fin ∉ V ↔ ¬ Fin ∈ V)
14	11, 12, 13	3imtr4i 201	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V → Fin ∉ V)
15	1, 14	ax-mp 5	1 ⊢ Fin ∉ V

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  {cab 2163   ∉ wnel 2442  Vcvv 2739   ⊆ wss 3131  {csn 3594  Fincfn 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-1o 6419  df-en 6743  df-fin 6745

This theorem is referenced by: (None)