Theorem fipwssg 6980

Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipwssg	|- ( ( A e. V /\ A C_ ~P X ) -> ( fi ` A ) C_ ~P X )

Proof of Theorem fipwssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiuni 6979	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )
2	1	sseq1d 3186	. . 3 |- ( A e. V -> ( U. A C_ X <-> U. ( fi ` A ) C_ X ) )
3		sspwuni 3973	. . 3 |- ( A C_ ~P X <-> U. A C_ X )
4		sspwuni 3973	. . 3 |- ( ( fi ` A ) C_ ~P X <-> U. ( fi ` A ) C_ X )
5	2, 3, 4	3bitr4g 223	. 2 |- ( A e. V -> ( A C_ ~P X <-> ( fi ` A ) C_ ~P X ) )
6	5	biimpa 296	1 |- ( ( A e. V /\ A C_ ~P X ) -> ( fi ` A ) C_ ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   U.cuni 3811   ` cfv 5218   ficfi 6969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745  df-fi 6970

This theorem is referenced by: (None)