Theorem fipwssg 6944

Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipwssg	|- ( ( A e. V /\ A C_ ~P X ) -> ( fi ` A ) C_ ~P X )

Proof of Theorem fipwssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiuni 6943	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )
2	1	sseq1d 3171	. . 3 |- ( A e. V -> ( U. A C_ X <-> U. ( fi ` A ) C_ X ) )
3		sspwuni 3950	. . 3 |- ( A C_ ~P X <-> U. A C_ X )
4		sspwuni 3950	. . 3 |- ( ( fi ` A ) C_ ~P X <-> U. ( fi ` A ) C_ X )
5	2, 3, 4	3bitr4g 222	. 2 |- ( A e. V -> ( A C_ ~P X <-> ( fi ` A ) C_ ~P X ) )
6	5	biimpa 294	1 |- ( ( A e. V /\ A C_ ~P X ) -> ( fi ` A ) C_ ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   U.cuni 3789   ` cfv 5188   ficfi 6933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-fi 6934

This theorem is referenced by: (None)