ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fipwssg Unicode version

Theorem fipwssg 6873
Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwssg  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  ~P X )  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )

Proof of Theorem fipwssg
StepHypRef Expression
1 fiuni 6872 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  =  U. ( fi `  A ) )
21sseq1d 3129 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( U. A  C_  X  <->  U. ( fi `  A )  C_  X ) )
3 sspwuni 3903 . . 3  |-  ( A 
C_  ~P X  <->  U. A  C_  X )
4 sspwuni 3903 . . 3  |-  ( ( fi `  A ) 
C_  ~P X  <->  U. ( fi `  A )  C_  X )
52, 3, 43bitr4g 222 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  C_  ~P X  <->  ( fi `  A )  C_  ~P X ) )
65biimpa 294 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  ~P X )  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1481    C_ wss 3074   ~Pcpw 3513   U.cuni 3742   ` cfv 5129   ficfi 6862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-iinf 4508
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-1o 6319  df-er 6435  df-en 6641  df-fin 6643  df-fi 6863
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator