Theorem fipwssg 7268

Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipwssg	|- ( ( A e. V /\ A C_ ~P X ) -> ( fi ` A ) C_ ~P X )

Proof of Theorem fipwssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiuni 7267	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )
2	1	sseq1d 3269	. . 3 |- ( A e. V -> ( U. A C_ X <-> U. ( fi ` A ) C_ X ) )
3		sspwuni 4078	. . 3 |- ( A C_ ~P X <-> U. A C_ X )
4		sspwuni 4078	. . 3 |- ( ( fi ` A ) C_ ~P X <-> U. ( fi ` A ) C_ X )
5	2, 3, 4	3bitr4g 223	. 2 |- ( A e. V -> ( A C_ ~P X <-> ( fi ` A ) C_ ~P X ) )
6	5	biimpa 296	1 |- ( ( A e. V /\ A C_ ~P X ) -> ( fi ` A ) C_ ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   C_ wss 3213   ~Pcpw 3671   U.cuni 3916   ` cfv 5354   ficfi 7257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980  df-fi 7258

This theorem is referenced by: (None)