Theorem fipwssg 7040

Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipwssg	|- ( ( A e. V /\ A C_ ~P X ) -> ( fi ` A ) C_ ~P X )

Proof of Theorem fipwssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiuni 7039	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )
2	1	sseq1d 3209	. . 3 |- ( A e. V -> ( U. A C_ X <-> U. ( fi ` A ) C_ X ) )
3		sspwuni 3998	. . 3 |- ( A C_ ~P X <-> U. A C_ X )
4		sspwuni 3998	. . 3 |- ( ( fi ` A ) C_ ~P X <-> U. ( fi ` A ) C_ X )
5	2, 3, 4	3bitr4g 223	. 2 |- ( A e. V -> ( A C_ ~P X <-> ( fi ` A ) C_ ~P X ) )
6	5	biimpa 296	1 |- ( ( A e. V /\ A C_ ~P X ) -> ( fi ` A ) C_ ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   C_ wss 3154   ~Pcpw 3602   U.cuni 3836   ` cfv 5255   ficfi 7029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799  df-fi 7030

This theorem is referenced by: (None)