Theorem sseq1d 3277

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	|- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sseq1 3271	. 2 |- ( A = B -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12d  3279  eqsstrd  3284  snssgOLD  3851  ssiun2s  4056  treq  4235  onsucsssucexmid  4674  funimass1  5458  feq1  5516  sbcfg  5532  fvmptssdm  5790  fvimacnvi  5823  nnsucsssuc  6765  ereq1  6814  elpm2r  6940  fipwssg  7313  nnnninf  7467  ctssexmid  7491  rspssp  14915  iscnp  15391  iscnp4  15410  cnntr  15417  cnconst2  15425  cnptopresti  15430  cnptoprest  15431  txbas  15450  txcnp  15463  txdis  15469  txdis1cn  15470  blssps  15619  blss  15620  ssblex  15623  blin2  15624  metss2  15690  metrest  15698  metcnp3  15703  cnopnap  15803  limccl  15851  ellimc3apf  15852  ausgrumgrien  16577  ausgrusgrien  16578  eupth2lem3lem4fi  16880