Theorem sseq1d 3277

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	|- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sseq1 3271	. 2 |- ( A = B -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12d  3279  eqsstrd  3284  snssgOLD  3851  ssiun2s  4056  treq  4237  onsucsssucexmid  4676  funimass1  5461  feq1  5519  sbcfg  5535  fvmptssdm  5793  fvimacnvi  5826  nnsucsssuc  6770  ereq1  6819  elpm2r  6945  isfsuppfid  7297  fipwssg  7318  nnnninf  7472  ctssexmid  7496  rspssp  14939  mplsubgfilemcl  15232  iscnp  15442  iscnp4  15461  cnntr  15468  cnconst2  15476  cnptopresti  15481  cnptoprest  15482  txbas  15501  txcnp  15514  txdis  15520  txdis1cn  15521  blssps  15670  blss  15671  ssblex  15674  blin2  15675  metss2  15741  metrest  15749  metcnp3  15754  cnopnap  15854  limccl  15902  ellimc3apf  15903  ausgrumgrien  16633  ausgrusgrien  16634  eupth2lem3lem4fi  16936