ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fipwssg GIF version

Theorem fipwssg 6981
Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwssg ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem fipwssg
StepHypRef Expression
1 fiuni 6980 . . . 4 (𝐴𝑉 𝐴 = (fi‘𝐴))
21sseq1d 3186 . . 3 (𝐴𝑉 → ( 𝐴𝑋 (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋))
3 sspwuni 3973 . . 3 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 𝐴𝑋)
4 sspwuni 3973 . . 3 ((fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋 (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋)
52, 3, 43bitr4g 223 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋))
65biimpa 296 1 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  wss 3131  𝒫 cpw 3577   cuni 3811  cfv 5218  ficfi 6970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6420  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746  df-fi 6971
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator