Theorem fipwssg 7279

Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipwssg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem fipwssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiuni 7278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))
2	1	sseq1d 3271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∪ 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋))
3		sspwuni 4081	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑋)
4		sspwuni 4081	. . 3 ⊢ ((fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	3bitr4g 223	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋))
6	5	biimpa 296	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674  ∪ cuni 3919  ‘cfv 5357  ficfi 7268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-fi 7269

This theorem is referenced by: (None)