Theorem fiunsnnn 7063

Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiunsnnn	⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)

Proof of Theorem fiunsnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → 𝐴 ≈ 𝑁)
2		en2sn 6983	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑁})
3	2	ad2ant2lr 510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → {𝐵} ≈ {𝑁})
4		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
5	4	eldifbd 3210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
6		disjsn 3729	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
8		elirr 4637	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ 𝑁
9		disjsn 3729	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ 𝑁)
10	8, 9	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)
12		unen 6986	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑁 ∧ {𝐵} ≈ {𝑁}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
13	1, 3, 7, 11, 12	syl22anc 1272	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
14		df-suc 4466	. 2 ⊢ suc 𝑁 = (𝑁 ∪ {𝑁})
15	13, 14	breqtrrdi 4128	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∖ cdif 3195   ∪ cun 3196   ∩ cin 3197  ∅c0 3492  {csn 3667   class class class wbr 4086  suc csuc 4460  ωcom 4686   ≈ cen 6902  Fincfn 6904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905

This theorem is referenced by:  php5fin  7064  hashunlem  11057