ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiunsnnn GIF version

Theorem fiunsnnn 6743
Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fiunsnnn (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)

Proof of Theorem fiunsnnn
StepHypRef Expression
1 simprr 506 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → 𝐴𝑁)
2 en2sn 6675 . . . 4 ((𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑁})
32ad2ant2lr 501 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → {𝐵} ≈ {𝑁})
4 simplr 504 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
54eldifbd 3053 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → ¬ 𝐵𝐴)
6 disjsn 3555 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
75, 6sylibr 133 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
8 elirr 4426 . . . . 5 ¬ 𝑁𝑁
9 disjsn 3555 . . . . 5 ((𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁𝑁)
108, 9mpbir 145 . . . 4 (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅
1110a1i 9 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)
12 unen 6678 . . 3 (((𝐴𝑁 ∧ {𝐵} ≈ {𝑁}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
131, 3, 7, 11, 12syl22anc 1202 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
14 df-suc 4263 . 2 suc 𝑁 = (𝑁 ∪ {𝑁})
1513, 14breqtrrdi 3940 1 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660  cdif 3038  cun 3039  cin 3040  c0 3333  {csn 3497   class class class wbr 3899  suc csuc 4257  ωcom 4474  cen 6600  Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-suc 4263  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-1o 6281  df-er 6397  df-en 6603
This theorem is referenced by:  php5fin  6744  hashunlem  10505
  Copyright terms: Public domain W3C validator