Theorem fiunsnnn 6939

Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiunsnnn	⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)

Proof of Theorem fiunsnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → 𝐴 ≈ 𝑁)
2		en2sn 6869	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑁})
3	2	ad2ant2lr 510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → {𝐵} ≈ {𝑁})
4		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
5	4	eldifbd 3166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
6		disjsn 3681	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
8		elirr 4574	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ 𝑁
9		disjsn 3681	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ 𝑁)
10	8, 9	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)
12		unen 6872	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑁 ∧ {𝐵} ≈ {𝑁}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
13	1, 3, 7, 11, 12	syl22anc 1250	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
14		df-suc 4403	. 2 ⊢ suc 𝑁 = (𝑁 ∪ {𝑁})
15	13, 14	breqtrrdi 4072	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∖ cdif 3151   ∪ cun 3152   ∩ cin 3153  ∅c0 3447  {csn 3619   class class class wbr 4030  suc csuc 4397  ωcom 4623   ≈ cen 6794  Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797

This theorem is referenced by:  php5fin  6940  hashunlem  10878