Theorem fiunsnnn 7004

Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiunsnnn	⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)

Proof of Theorem fiunsnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → 𝐴 ≈ 𝑁)
2		en2sn 6929	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑁})
3	2	ad2ant2lr 510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → {𝐵} ≈ {𝑁})
4		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
5	4	eldifbd 3186	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
6		disjsn 3705	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
8		elirr 4607	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ 𝑁
9		disjsn 3705	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ 𝑁)
10	8, 9	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)
12		unen 6932	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑁 ∧ {𝐵} ≈ {𝑁}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
13	1, 3, 7, 11, 12	syl22anc 1251	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
14		df-suc 4436	. 2 ⊢ suc 𝑁 = (𝑁 ∪ {𝑁})
15	13, 14	breqtrrdi 4101	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776   ∖ cdif 3171   ∪ cun 3172   ∩ cin 3173  ∅c0 3468  {csn 3643   class class class wbr 4059  suc csuc 4430  ωcom 4656   ≈ cen 6848  Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851

This theorem is referenced by:  php5fin  7005  hashunlem  10986