Theorem psmetcl 15317

Description: Closure of the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetcl	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Proof of Theorem psmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psmetf 15316	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		fovcdm 6205	. 2 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
3	1, 2	syl3an1 1307	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   X. cxp 4752   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RR*cxr 8323  PsMetcpsmet 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-psmet 14817

This theorem is referenced by:  psmetsym  15320  psmetge0  15322  psmetlecl  15325  xblpnfps  15389  xblss2ps  15395  blssps  15418