ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetcl Unicode version

Theorem psmetcl 12521
Description: Closure of the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetcl  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e. 
RR* )

Proof of Theorem psmetcl
StepHypRef Expression
1 psmetf 12520 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )
2 fovrn 5916 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1249 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e. 
RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 962    e. wcel 1480    X. cxp 4540   -->wf 5122   ` cfv 5126  (class class class)co 5777   RR*cxr 7818  PsMetcpsmet 12174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-map 6547  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-psmet 12182
This theorem is referenced by:  psmetsym  12524  psmetge0  12526  psmetlecl  12529  xblpnfps  12593  xblss2ps  12599  blssps  12622
  Copyright terms: Public domain W3C validator