Theorem psmetcl 12867

Description: Closure of the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetcl	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Proof of Theorem psmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psmetf 12866	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		fovrn 5975	. 2 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
3	1, 2	syl3an1 1260	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 967   e. wcel 2135   X. cxp 4596   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   RR*cxr 7923  PsMetcpsmet 12520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-map 6607  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-psmet 12528

This theorem is referenced by:  psmetsym  12870  psmetge0  12872  psmetlecl  12875  xblpnfps  12939  xblss2ps  12945  blssps  12968