Theorem ffvelrn 5546

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelrn	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5267	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5545	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5276	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3091	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   ran crn 4535   Fn wfn 5113   -->wf 5114   ` cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  ffvelrni  5547  ffvelrnda  5548  dffo3  5560  ffnfv  5571  ffvresb  5576  fcompt  5583  fsn2  5587  fvconst  5601  foco2  5648  fcofo  5678  cocan1  5681  isocnv  5705  isores2  5707  isopolem  5716  isosolem  5718  fovrn  5906  off  5987  mapsncnv  6582  2dom  6692  enm  6707  xpdom2  6718  xpmapenlem  6736  fiintim  6810  isotilem  6886  updjudhf  6957  exmidomniim  7006  shftf  10595  summodclem2a  11143  isumcl  11187  mertenslem2  11298  nn0seqcvgd  11711  algrf  11715  eucalg  11729  phimullem  11890  upxp  12430  uptx  12432  txhmeo  12477  cncfmet  12737  dvaddxxbr  12823  dvcj  12831  dvfre  12832