ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fovrn GIF version

Theorem fovrn 5964
Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fovrn ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrn
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4619 . . 3 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆))
2 df-ov 5828 . . . 4 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
3 ffvelrn 5601 . . . 4 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝐶)
42, 3eqeltrid 2244 . . 3 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
51, 4sylan2 284 . 2 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ (𝐴𝑅𝐵𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
653impb 1181 1 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963  wcel 2128  cop 3563   × cxp 4585  wf 5167  cfv 5171  (class class class)co 5825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828
This theorem is referenced by:  fovrnda  5965  fovrnd  5966  ovmpoelrn  6156  mapxpen  6794  psmetcl  12768  xmetcl  12794  metcl  12795  blssm  12863
  Copyright terms: Public domain W3C validator