Theorem xmetcl 14939

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 14937	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		fovcdm 6112	. 2 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
3	1, 2	syl3an1 1283	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   e. wcel 2178   X. cxp 4691   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RR*cxr 8141   *Metcxmet 14413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-xmet 14421

This theorem is referenced by:  xmetge0  14952  xmetlecl  14954  xmetsym  14955  xmetrtri  14963  xblpnf  14986  bldisj  14988  blgt0  14989  xblss2  14992  blhalf  14995  xblm  15004  blininf  15011  blss  15015  xmscl  15053  blsscls2  15080  comet  15086  bdxmet  15088  bdmet  15089  bdbl  15090  xmetxp  15094  xmetxpbl  15095  metcnpi3  15104  txmetcnp  15105