Theorem xmetcl 12521

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 12519	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		fovrn 5913	. 2 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
3	1, 2	syl3an1 1249	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   e. wcel 1480   X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RR*cxr 7799   *Metcxmet 12149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-xmet 12157

This theorem is referenced by:  xmetge0  12534  xmetlecl  12536  xmetsym  12537  xmetrtri  12545  xblpnf  12568  bldisj  12570  blgt0  12571  xblss2  12574  blhalf  12577  xblm  12586  blininf  12593  blss  12597  xmscl  12635  blsscls2  12662  comet  12668  bdxmet  12670  bdmet  12671  bdbl  12672  xmetxp  12676  xmetxpbl  12677  metcnpi3  12686  txmetcnp  12687