Theorem freccl 6367

Description: Closure for finite recursion. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
freccl.a	|- ( ph -> A e. S )
freccl.cl	|- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( F ` z ) e. S )
freccl.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
freccl	|- ( ph -> (frec ( F , A ) ` B ) e. S )

Distinct variable groups:   ph, z   z, S   z, F   z, A

Allowed substitution hint:   B( z)

Proof of Theorem freccl

Dummy variables x m g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		freccl.a	. 2 |- ( ph -> A e. S )
2		freccl.cl	. 2 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( F ` z ) e. S )
3		freccl.b	. 2 |- ( ph -> B e. om )
4		eqid 2165	. 2 |- recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
5	1, 2, 3, 4	freccllem 6366	1 |- ( ph -> (frec ( F , A ) ` B ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2444   _Vcvv 2725   (/)c0 3408   |-> cmpt 4042   suc csuc 4342   omcom 4566   dom cdm 4603   ` cfv 5187  recscrecs 6268  freccfrec 6354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-recs 6269  df-frec 6355

This theorem is referenced by:  frec2uzzd  10331  frecuzrdgrrn  10339