ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  freccl Unicode version

Theorem freccl 6168
Description: Closure for finite recursion. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
freccl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
freccl.cl  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z )  e.  S )
freccl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
Assertion
Ref Expression
freccl  |-  ( ph  ->  (frec ( F ,  A ) `  B
)  e.  S )
Distinct variable groups:    ph, z    z, S    z, F    z, A
Allowed substitution hint:    B( z)

Proof of Theorem freccl
Dummy variables  x  m  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 freccl.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
2 freccl.cl . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z )  e.  S )
3 freccl.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
4 eqid 2088 . 2  |- recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  = recs (
( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )
51, 2, 3, 4freccllem 6167 1  |-  ( ph  ->  (frec ( F ,  A ) `  B
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   (/)c0 3286    |-> cmpt 3899   suc csuc 4192   omcom 4405   dom cdm 4438   ` cfv 5015  recscrecs 6069  freccfrec 6155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-recs 6070  df-frec 6156
This theorem is referenced by:  frec2uzzd  9807  frecuzrdgrrn  9815
  Copyright terms: Public domain W3C validator