Theorem freccllem 6251

Description: Lemma for freccl 6252. Just giving a name to a common expression to simplify the proof. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
freccl.a	|- ( ph -> A e. S )
freccl.cl	|- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( F ` z ) e. S )
freccl.b	|- ( ph -> B e. om )
freccllem.g	|- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
freccllem	|- ( ph -> (frec ( F , A ) ` B ) e. S )

Distinct variable groups:   A, g, m, x   z, A, m, x   x, B   g, F, m, x   z, F   S, m, x, z   ph, m, x, z

Allowed substitution hints:   ph( g)   B( z, g, m)   S( g)   G( x, z, g, m)

Proof of Theorem freccllem

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-frec 6240	. . . 4 |- frec ( F , A ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
2		freccllem.g	. . . . 5 |- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
3	2	reseq1i 4771	. . . 4 |- ( G |` om ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
4	1, 3	eqtr4i 2136	. . 3 |- frec ( F , A ) = ( G |` om )
5	4	fveq1i 5374	. 2 |- (frec ( F , A ) ` B ) = ( ( G |` om ) ` B )
6		freccl.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. om )
7		fvres 5397	. . . 4 |- ( B e. om -> ( ( G |` om ) ` B ) = ( G ` B ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ( G |` om ) ` B ) = ( G ` B ) )
9		funmpt 5117	. . . . 5 |- Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
11		ordom 4478	. . . . 5 |- Ord om
12	11	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> Ord om )
13		vex 2658	. . . . . 6 |- f e. _V
14		simp2 963	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> y e. om )
15		simp3 964	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> f : y --> S )
16		freccl.cl	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( F ` z ) e. S )
17	16	ralrimiva 2477	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. S ( F ` z ) e. S )
18	17	3ad2ant1 983	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A. z e. S ( F ` z ) e. S )
19		freccl.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. S )
20	19	3ad2ant1 983	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A e. S )
21	14, 15, 18, 20	frecabcl 6248	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S )
22		dmeq 4697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> dom g = dom f )
23	22	eqeq1d 2121	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( dom g = suc m <-> dom f = suc m ) )
24		fveq1 5372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( g ` m ) = ( f ` m ) )
25	24	fveq2d 5377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( F ` ( g ` m ) ) = ( F ` ( f ` m ) ) )
26	25	eleq2d 2182	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( x e. ( F ` ( g ` m ) ) <-> x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) )
27	23, 26	anbi12d 462	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
28	27	rexbidv 2410	. . . . . . . . 9 |- ( g = f -> ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
29	22	eqeq1d 2121	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( dom g = (/) <-> dom f = (/) ) )
30	29	anbi1d 458	. . . . . . . . 9 |- ( g = f -> ( ( dom g = (/) /\ x e. A ) <-> ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) )
31	28, 30	orbi12d 765	. . . . . . . 8 |- ( g = f -> ( ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) ) )
32	31	abbidv 2230	. . . . . . 7 |- ( g = f -> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
33		eqid 2113	. . . . . . 7 |- ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
34	32, 33	fvmptg 5449	. . . . . 6 |- ( ( f e. _V /\ { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
35	13, 21, 34	sylancr 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
36	35, 21	eqeltrd 2189	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) e. S )
37		limom 4485	. . . . . . 7 |- Lim om
38		limuni 4276	. . . . . . 7 |- ( Lim om -> om = U. om )
39	37, 38	ax-mp 7	. . . . . 6 |- om = U. om
40	39	eleq2i 2179	. . . . 5 |- ( y e. om <-> y e. U. om )
41		peano2 4467	. . . . . 6 |- ( y e. om -> suc y e. om )
42	41	adantl 273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> suc y e. om )
43	40, 42	sylan2br 284	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. U. om ) -> suc y e. om )
44	6, 39	syl6eleq 2205	. . . 4 |- ( ph -> B e. U. om )
45	2, 10, 12, 36, 43, 44	tfrcl 6213	. . 3 |- ( ph -> ( G ` B ) e. S )
46	8, 45	eqeltrd 2189	. 2 |- ( ph -> ( ( G |` om ) ` B ) e. S )
47	5, 46	syl5eqel 2199	1 |- ( ph -> (frec ( F , A ) ` B ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 680   /\ w3a 943   = wceq 1312   e. wcel 1461   {cab 2099   A.wral 2388   E.wrex 2389   _Vcvv 2655   (/)c0 3327   U.cuni 3700   |-> cmpt 3947   Ord word 4242   Lim wlim 4244   suc csuc 4245   omcom 4462   dom cdm 4497   |` cres 4499   Fun wfun 5073   -->wf 5075   ` cfv 5079  recscrecs 6153  freccfrec 6239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-recs 6154  df-frec 6240

This theorem is referenced by:  freccl  6252