Theorem frec2uzzd 9870

Description: The value of G (see frec2uz0d 9869) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
2	1	fveq1i 5321	. 2 |- ( G ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A )
3		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
4		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
5	4	peano2zd 8934	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
6		oveq1 5675	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x + 1 ) = ( k + 1 ) )
7		eqid 2089	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
8	6, 7	fvmptg 5395	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
9	4, 5, 8	syl2anc 404	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
10	9, 5	eqeltrd 2165	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) e. ZZ )
11		frec2uzzd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. om )
12	3, 10, 11	freccl 6184	. 2 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) e. ZZ )
13	2, 12	syl5eqel 2175	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   |-> cmpt 3907   omcom 4420   ` cfv 5030  (class class class)co 5668  freccfrec 6171   1c1 7414   + caddc 7416   ZZcz 8813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-recs 6086  df-frec 6172  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  9871  frec2uzltd  9873  frec2uzlt2d  9874  frec2uzf1od  9876  frec2uzrdg  9879  frec2uzled  9899