Theorem frec2uzzd 10173

Description: The value of G (see frec2uz0d 10172) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
2	1	fveq1i 5422	. 2 |- ( G ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A )
3		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
4		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
5	4	peano2zd 9176	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
6		oveq1 5781	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x + 1 ) = ( k + 1 ) )
7		eqid 2139	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
8	6, 7	fvmptg 5497	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
9	4, 5, 8	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
10	9, 5	eqeltrd 2216	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) e. ZZ )
11		frec2uzzd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. om )
12	3, 10, 11	freccl 6300	. 2 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) e. ZZ )
13	2, 12	eqeltrid 2226	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   |-> cmpt 3989   omcom 4504   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   1c1 7621   + caddc 7623   ZZcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  10174  frec2uzltd  10176  frec2uzlt2d  10177  frec2uzf1od  10179  frec2uzrdg  10182  frec2uzled  10202