Theorem frec2uzzd 10492

Description: The value of G (see frec2uz0d 10491) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
2	1	fveq1i 5559	. 2 |- ( G ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A )
3		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
5	4	peano2zd 9451	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
6		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x + 1 ) = ( k + 1 ) )
7		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
8	6, 7	fvmptg 5637	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
9	4, 5, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
10	9, 5	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) e. ZZ )
11		frec2uzzd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. om )
12	3, 10, 11	freccl 6461	. 2 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) e. ZZ )
13	2, 12	eqeltrid 2283	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   |-> cmpt 4094   omcom 4626   ` cfv 5258  (class class class)co 5922  freccfrec 6448   1c1 7880   + caddc 7882   ZZcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  10493  frec2uzltd  10495  frec2uzlt2d  10496  frec2uzf1od  10498  frec2uzrdg  10501  frec2uzled  10521