Theorem frec2uzzd 10663

Description: The value of G (see frec2uz0d 10662) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
2	1	fveq1i 5640	. 2 |- ( G ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A )
3		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
5	4	peano2zd 9605	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
6		oveq1 6025	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x + 1 ) = ( k + 1 ) )
7		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
8	6, 7	fvmptg 5722	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
9	4, 5, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
10	9, 5	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) e. ZZ )
11		frec2uzzd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. om )
12	3, 10, 11	freccl 6569	. 2 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) e. ZZ )
13	2, 12	eqeltrid 2318	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   |-> cmpt 4150   omcom 4688   ` cfv 5326  (class class class)co 6018  freccfrec 6556   1c1 8033   + caddc 8035   ZZcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  10664  frec2uzltd  10666  frec2uzlt2d  10667  frec2uzf1od  10669  frec2uzrdg  10672  frec2uzled  10692