Theorem frec2uzzd 10335

Description: The value of G (see frec2uz0d 10334) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
2	1	fveq1i 5487	. 2 |- ( G ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A )
3		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
4		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
5	4	peano2zd 9316	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
6		oveq1 5849	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x + 1 ) = ( k + 1 ) )
7		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
8	6, 7	fvmptg 5562	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
9	4, 5, 8	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) = ( k + 1 ) )
10	9, 5	eqeltrd 2243	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` k ) e. ZZ )
11		frec2uzzd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. om )
12	3, 10, 11	freccl 6371	. 2 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) e. ZZ )
13	2, 12	eqeltrid 2253	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   |-> cmpt 4043   omcom 4567   ` cfv 5188  (class class class)co 5842  freccfrec 6358   1c1 7754   + caddc 7756   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  10336  frec2uzltd  10338  frec2uzlt2d  10339  frec2uzf1od  10341  frec2uzrdg  10344  frec2uzled  10364