ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  freccl GIF version

Theorem freccl 6300
Description: Closure for finite recursion. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
freccl.a (𝜑𝐴𝑆)
freccl.cl ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
freccl.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
freccl (𝜑 → (frec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧   𝑧,𝑆   𝑧,𝐹   𝑧,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem freccl
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 freccl.a . 2 (𝜑𝐴𝑆)
2 freccl.cl . 2 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
3 freccl.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ω)
4 eqid 2139 . 2 recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))})) = recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))}))
51, 2, 3, 4freccllem 6299 1 (𝜑 → (frec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  {cab 2125  wrex 2417  Vcvv 2686  c0 3363  cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  dom cdm 4539  cfv 5123  recscrecs 6201  freccfrec 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-recs 6202  df-frec 6288
This theorem is referenced by:  frec2uzzd  10180  frecuzrdgrrn  10188
  Copyright terms: Public domain W3C validator