Theorem freccl 6569

Description: Closure for finite recursion. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
freccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
freccl.cl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
freccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
freccl	⊢ (𝜑 → (frec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧   𝑧,𝑆   𝑧,𝐹   𝑧,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem freccl

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		freccl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		freccl.cl	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
3		freccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
4		eqid 2231	. 2 ⊢ recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔‘𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))})) = recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔‘𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))}))
5	1, 2, 3, 4	freccllem 6568	1 ⊢ (𝜑 → (frec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ∃wrex 2511  Vcvv 2802  ∅c0 3494   ↦ cmpt 4150  suc csuc 4462  ωcom 4688  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  recscrecs 6470  freccfrec 6556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-recs 6471  df-frec 6557

This theorem is referenced by:  frec2uzzd  10663  frecuzrdgrrn  10671