Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgrrn Unicode version

Theorem frecuzrdgrrn 10121
 Description: The function (used in the definition of the recursive definition generator on upper integers) yields ordered pairs of integers and elements of . (Contributed by Jim Kingdon, 28-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1
frec2uz.2 frec
frecuzrdgrrn.a
frecuzrdgrrn.f
frecuzrdgrrn.2 frec
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgrrn
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem frecuzrdgrrn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrrn.2 . . 3 frec
21fveq1i 5388 . 2 frec
3 frec2uz.1 . . . . . 6
4 uzid 9289 . . . . . 6
53, 4syl 14 . . . . 5
6 frecuzrdgrrn.a . . . . 5
7 opelxp 4537 . . . . 5
85, 6, 7sylanbrc 411 . . . 4
10 1st2nd2 6039 . . . . . . 7
11 fveq2 5387 . . . . . . . 8
12 df-ov 5743 . . . . . . . 8
1311, 12syl6eqr 2166 . . . . . . 7
1410, 13syl 14 . . . . . 6
1514adantl 273 . . . . 5
16 xp1st 6029 . . . . . . 7
1716adantl 273 . . . . . 6
18 xp2nd 6030 . . . . . . 7
1918adantl 273 . . . . . 6
20 peano2uz 9327 . . . . . . . 8
2117, 20syl 14 . . . . . . 7
22 frecuzrdgrrn.f . . . . . . . . . 10
2322ralrimivva 2489 . . . . . . . . 9
2423ad2antrr 477 . . . . . . . 8
25 oveq1 5747 . . . . . . . . . . 11
2625eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10
27 oveq2 5748 . . . . . . . . . . 11
2827eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10
2926, 28rspc2v 2774 . . . . . . . . 9
3017, 19, 29syl2anc 406 . . . . . . . 8
3124, 30mpd 13 . . . . . . 7
32 opelxp 4537 . . . . . . 7
3321, 31, 32sylanbrc 411 . . . . . 6
34 oveq1 5747 . . . . . . . 8
3534, 25opeq12d 3681 . . . . . . 7
3627opeq2d 3680 . . . . . . 7
37 eqid 2115 . . . . . . 7
3835, 36, 37ovmpog 5871 . . . . . 6
3917, 19, 33, 38syl3anc 1199 . . . . 5
4015, 39eqtrd 2148 . . . 4
4140, 33eqeltrd 2192 . . 3
42 simpr 109 . . 3
439, 41, 42freccl 6266 . 2 frec
442, 43eqeltrid 2202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1314   wcel 1463  wral 2391  cop 3498   cmpt 3957  com 4472   cxp 4505  cfv 5091  (class class class)co 5740   cmpo 5742  c1st 6002  c2nd 6003  freccfrec 6253  c1 7585   caddc 7587  cz 9005  cuz 9275 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276 This theorem is referenced by:  frec2uzrdg  10122  frecuzrdgtcl  10125  frecuzrdgsuc  10127
 Copyright terms: Public domain W3C validator