Theorem frecfcllem 6457

Description: Lemma for frecfcl 6458. Just giving a name to a common expression to simplify the proof. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfcllem.g	|- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
frecfcllem	|- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> frec ( F , A ) : om --> S )

Distinct variable groups:   A, g, m, x   g, F, m, x   z, F, m, x   S, m, x, z

Allowed substitution hints:   A( z)   S( g)   G( x, z, g, m)

Proof of Theorem frecfcllem

Dummy variables f y k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecfcllem.g	. . . . . 6 |- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
2		funmpt 5292	. . . . . . 7 |- Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
4		ordom 4639	. . . . . . 7 |- Ord om
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> Ord om )
6		vex 2763	. . . . . . . 8 |- f e. _V
7		simp2 1000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> y e. om )
8		simp3 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> f : y --> S )
9		simp1ll 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A. z e. S ( F ` z ) e. S )
10		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
11	10	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( F ` z ) e. S <-> ( F ` w ) e. S ) )
12	11	cbvralv 2726	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. S ( F ` z ) e. S <-> A. w e. S ( F ` w ) e. S )
13	9, 12	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A. w e. S ( F ` w ) e. S )
14		simp1lr 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A e. S )
15	7, 8, 13, 14	frecabcl 6452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S )
16		dmeq 4862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> dom g = dom f )
17	16	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( dom g = suc m <-> dom f = suc m ) )
18		fveq1 5553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( g ` m ) = ( f ` m ) )
19	18	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( F ` ( g ` m ) ) = ( F ` ( f ` m ) ) )
20	19	eleq2d 2263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( x e. ( F ` ( g ` m ) ) <-> x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
22	21	rexbidv 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
23	16	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( dom g = (/) <-> dom f = (/) ) )
24	23	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( ( dom g = (/) /\ x e. A ) <-> ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) )
25	22, 24	orbi12d 794	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) ) )
26	25	abbidv 2311	. . . . . . . . 9 |- ( g = f -> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
27		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
28	26, 27	fvmptg 5633	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. _V /\ { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
29	6, 15, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
30	29, 15	eqeltrd 2270	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) e. S )
31		limom 4646	. . . . . . . . . 10 |- Lim om
32		limuni 4427	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim om -> om = U. om )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- om = U. om
34	33	eleq2i 2260	. . . . . . . 8 |- ( y e. om <-> y e. U. om )
35		peano2 4627	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> suc y e. om )
36	34, 35	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( y e. U. om -> suc y e. om )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. U. om ) -> suc y e. om )
38	33	eleq2i 2260	. . . . . . . 8 |- ( k e. om <-> k e. U. om )
39	38	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( k e. om -> k e. U. om )
40	39	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> k e. U. om )
41	1, 3, 5, 30, 37, 40	tfrcldm 6416	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> k e. dom G )
42	1, 3, 5, 30, 37, 40	tfrcl 6417	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> ( G ` k ) e. S )
43	41, 42	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
44	43	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
45		tfrfun 6373	. . . . 5 |- Fun recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
46	1	funeqi 5275	. . . . 5 |- ( Fun G <-> Fun recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) )
47	45, 46	mpbir 146	. . . 4 |- Fun G
48		ffvresb 5721	. . . 4 |- ( Fun G -> ( ( G |` om ) : om --> S <-> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( G |` om ) : om --> S <-> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
50	44, 49	sylibr 134	. 2 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> ( G |` om ) : om --> S )
51		df-frec 6444	. . . 4 |- frec ( F , A ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
52	1	reseq1i 4938	. . . 4 |- ( G |` om ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
53	51, 52	eqtr4i 2217	. . 3 |- frec ( F , A ) = ( G |` om )
54	53	feq1i 5396	. 2 |- (frec ( F , A ) : om --> S <-> ( G |` om ) : om --> S )
55	50, 54	sylibr 134	1 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> frec ( F , A ) : om --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   U.cuni 3835   |-> cmpt 4090   Ord word 4393   Lim wlim 4395   suc csuc 4396   omcom 4622   dom cdm 4659   |` cres 4661   Fun wfun 5248   -->wf 5250   ` cfv 5254  recscrecs 6357  freccfrec 6443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-recs 6358  df-frec 6444

This theorem is referenced by:  frecfcl  6458