Theorem frecfcllem 6648

Description: Lemma for frecfcl 6649. Just giving a name to a common expression to simplify the proof. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfcllem.g	|- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
frecfcllem	|- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> frec ( F , A ) : om --> S )

Distinct variable groups:   A, g, m, x   g, F, m, x   z, F, m, x   S, m, x, z

Allowed substitution hints:   A( z)   S( g)   G( x, z, g, m)

Proof of Theorem frecfcllem

Dummy variables f y k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecfcllem.g	. . . . . 6 |- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
2		funmpt 5395	. . . . . . 7 |- Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
4		ordom 4734	. . . . . . 7 |- Ord om
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> Ord om )
6		vex 2818	. . . . . . . 8 |- f e. _V
7		simp2 1025	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> y e. om )
8		simp3 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> f : y --> S )
9		simp1ll 1087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A. z e. S ( F ` z ) e. S )
10		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
11	10	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( F ` z ) e. S <-> ( F ` w ) e. S ) )
12	11	cbvralv 2780	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. S ( F ` z ) e. S <-> A. w e. S ( F ` w ) e. S )
13	9, 12	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A. w e. S ( F ` w ) e. S )
14		simp1lr 1088	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A e. S )
15	7, 8, 13, 14	frecabcl 6643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S )
16		dmeq 4961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> dom g = dom f )
17	16	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( dom g = suc m <-> dom f = suc m ) )
18		fveq1 5674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( g ` m ) = ( f ` m ) )
19	18	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( F ` ( g ` m ) ) = ( F ` ( f ` m ) ) )
20	19	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( x e. ( F ` ( g ` m ) ) <-> x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
22	21	rexbidv 2545	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
23	16	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( dom g = (/) <-> dom f = (/) ) )
24	23	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( ( dom g = (/) /\ x e. A ) <-> ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) )
25	22, 24	orbi12d 801	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) ) )
26	25	abbidv 2354	. . . . . . . . 9 |- ( g = f -> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
27		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
28	26, 27	fvmptg 5758	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. _V /\ { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
29	6, 15, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
30	29, 15	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) e. S )
31		limom 4741	. . . . . . . . . 10 |- Lim om
32		limuni 4522	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim om -> om = U. om )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- om = U. om
34	33	eleq2i 2301	. . . . . . . 8 |- ( y e. om <-> y e. U. om )
35		peano2 4722	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> suc y e. om )
36	34, 35	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( y e. U. om -> suc y e. om )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. U. om ) -> suc y e. om )
38	33	eleq2i 2301	. . . . . . . 8 |- ( k e. om <-> k e. U. om )
39	38	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( k e. om -> k e. U. om )
40	39	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> k e. U. om )
41	1, 3, 5, 30, 37, 40	tfrcldm 6607	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> k e. dom G )
42	1, 3, 5, 30, 37, 40	tfrcl 6608	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> ( G ` k ) e. S )
43	41, 42	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
44	43	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
45		tfrfun 6564	. . . . 5 |- Fun recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
46	1	funeqi 5378	. . . . 5 |- ( Fun G <-> Fun recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) )
47	45, 46	mpbir 146	. . . 4 |- Fun G
48		ffvresb 5845	. . . 4 |- ( Fun G -> ( ( G |` om ) : om --> S <-> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( G |` om ) : om --> S <-> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
50	44, 49	sylibr 134	. 2 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> ( G |` om ) : om --> S )
51		df-frec 6635	. . . 4 |- frec ( F , A ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
52	1	reseq1i 5039	. . . 4 |- ( G |` om ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
53	51, 52	eqtr4i 2258	. . 3 |- frec ( F , A ) = ( G |` om )
54	53	feq1i 5506	. 2 |- (frec ( F , A ) : om --> S <-> ( G |` om ) : om --> S )
55	50, 54	sylibr 134	1 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> frec ( F , A ) : om --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   U.cuni 3919   |-> cmpt 4176   Ord word 4488   Lim wlim 4490   suc csuc 4491   omcom 4717   dom cdm 4754   |` cres 4756   Fun wfun 5351   -->wf 5353   ` cfv 5357  recscrecs 6548  freccfrec 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-recs 6549  df-frec 6635

This theorem is referenced by:  frecfcl  6649