Theorem frecfcllem 6405

Description: Lemma for frecfcl 6406. Just giving a name to a common expression to simplify the proof. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfcllem.g	|- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
frecfcllem	|- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> frec ( F , A ) : om --> S )

Distinct variable groups:   A, g, m, x   g, F, m, x   z, F, m, x   S, m, x, z

Allowed substitution hints:   A( z)   S( g)   G( x, z, g, m)

Proof of Theorem frecfcllem

Dummy variables f y k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecfcllem.g	. . . . . 6 |- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
2		funmpt 5255	. . . . . . 7 |- Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
4		ordom 4607	. . . . . . 7 |- Ord om
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> Ord om )
6		vex 2741	. . . . . . . 8 |- f e. _V
7		simp2 998	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> y e. om )
8		simp3 999	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> f : y --> S )
9		simp1ll 1060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A. z e. S ( F ` z ) e. S )
10		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
11	10	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( F ` z ) e. S <-> ( F ` w ) e. S ) )
12	11	cbvralv 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. S ( F ` z ) e. S <-> A. w e. S ( F ` w ) e. S )
13	9, 12	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A. w e. S ( F ` w ) e. S )
14		simp1lr 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A e. S )
15	7, 8, 13, 14	frecabcl 6400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S )
16		dmeq 4828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> dom g = dom f )
17	16	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( dom g = suc m <-> dom f = suc m ) )
18		fveq1 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( g ` m ) = ( f ` m ) )
19	18	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( F ` ( g ` m ) ) = ( F ` ( f ` m ) ) )
20	19	eleq2d 2247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( x e. ( F ` ( g ` m ) ) <-> x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
22	21	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
23	16	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( dom g = (/) <-> dom f = (/) ) )
24	23	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( ( dom g = (/) /\ x e. A ) <-> ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) )
25	22, 24	orbi12d 793	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) ) )
26	25	abbidv 2295	. . . . . . . . 9 |- ( g = f -> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
27		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
28	26, 27	fvmptg 5593	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. _V /\ { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
29	6, 15, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
30	29, 15	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) e. S )
31		limom 4614	. . . . . . . . . 10 |- Lim om
32		limuni 4397	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim om -> om = U. om )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- om = U. om
34	33	eleq2i 2244	. . . . . . . 8 |- ( y e. om <-> y e. U. om )
35		peano2 4595	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> suc y e. om )
36	34, 35	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( y e. U. om -> suc y e. om )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. U. om ) -> suc y e. om )
38	33	eleq2i 2244	. . . . . . . 8 |- ( k e. om <-> k e. U. om )
39	38	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( k e. om -> k e. U. om )
40	39	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> k e. U. om )
41	1, 3, 5, 30, 37, 40	tfrcldm 6364	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> k e. dom G )
42	1, 3, 5, 30, 37, 40	tfrcl 6365	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> ( G ` k ) e. S )
43	41, 42	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
44	43	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
45		tfrfun 6321	. . . . 5 |- Fun recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
46	1	funeqi 5238	. . . . 5 |- ( Fun G <-> Fun recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) )
47	45, 46	mpbir 146	. . . 4 |- Fun G
48		ffvresb 5680	. . . 4 |- ( Fun G -> ( ( G |` om ) : om --> S <-> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( G |` om ) : om --> S <-> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
50	44, 49	sylibr 134	. 2 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> ( G |` om ) : om --> S )
51		df-frec 6392	. . . 4 |- frec ( F , A ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
52	1	reseq1i 4904	. . . 4 |- ( G |` om ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
53	51, 52	eqtr4i 2201	. . 3 |- frec ( F , A ) = ( G |` om )
54	53	feq1i 5359	. 2 |- (frec ( F , A ) : om --> S <-> ( G |` om ) : om --> S )
55	50, 54	sylibr 134	1 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> frec ( F , A ) : om --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2738   (/)c0 3423   U.cuni 3810   |-> cmpt 4065   Ord word 4363   Lim wlim 4365   suc csuc 4366   omcom 4590   dom cdm 4627   |` cres 4629   Fun wfun 5211   -->wf 5213   ` cfv 5217  recscrecs 6305  freccfrec 6391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-recs 6306  df-frec 6392

This theorem is referenced by:  frecfcl  6406