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Theorem frecfcllem 6104
Description: Lemma for frecfcl 6105. Just giving a name to a common expression to simplify the proof. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frecfcllem.g  |-  G  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
frecfcllem  |-  ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S )  -> frec ( F ,  A ) : om --> S )
Distinct variable groups:    A, g, m, x    g, F, m, x    z, F, m, x    S, m, x, z
Allowed substitution hints:    A( z)    S( g)    G( x, z, g, m)

Proof of Theorem frecfcllem
Dummy variables  f  y  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecfcllem.g . . . . . 6  |-  G  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )
2 funmpt 5008 . . . . . . 7  |-  Fun  (
g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } )
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  ->  Fun  ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )
4 ordom 4387 . . . . . . 7  |-  Ord  om
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  ->  Ord  om )
6 vex 2617 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
7 simp2 942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  /\  y  e. 
om  /\  f :
y --> S )  -> 
y  e.  om )
8 simp3 943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  /\  y  e. 
om  /\  f :
y --> S )  -> 
f : y --> S )
9 simp1ll 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  /\  y  e. 
om  /\  f :
y --> S )  ->  A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S )
10 fveq2 5256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
1110eleq1d 2153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  e.  S  <->  ( F `  w )  e.  S
) )
1211cbvralv 2585 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  <->  A. w  e.  S  ( F `  w )  e.  S )
139, 12sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  /\  y  e. 
om  /\  f :
y --> S )  ->  A. w  e.  S  ( F `  w )  e.  S )
14 simp1lr 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  /\  y  e. 
om  /\  f :
y --> S )  ->  A  e.  S )
157, 8, 13, 14frecabcl 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  /\  y  e. 
om  /\  f :
y --> S )  ->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  f  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( f `
 m ) ) )  \/  ( dom  f  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) }  e.  S )
16 dmeq 4597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  dom  g  =  dom  f )
1716eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  ( dom  g  =  suc  m 
<->  dom  f  =  suc  m ) )
18 fveq1 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  (
g `  m )  =  ( f `  m ) )
1918fveq2d 5260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  ( F `  ( g `  m ) )  =  ( F `  (
f `  m )
) )
2019eleq2d 2154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  (
x  e.  ( F `
 ( g `  m ) )  <->  x  e.  ( F `  ( f `
 m ) ) ) )
2117, 20anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  f  ->  (
( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  <->  ( dom  f  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( f `  m
) ) ) ) )
2221rexbidv 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  f  ->  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  <->  E. m  e.  om  ( dom  f  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( f `
 m ) ) ) ) )
2316eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  f  ->  ( dom  g  =  (/)  <->  dom  f  =  (/) ) )
2423anbi1d 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  f  ->  (
( dom  g  =  (/) 
/\  x  e.  A
)  <->  ( dom  f  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )
2522, 24orbi12d 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  f  ->  (
( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  f  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( f `
 m ) ) )  \/  ( dom  f  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
2625abbidv 2202 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  f  ->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) }  =  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  f  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
f `  m )
) )  \/  ( dom  f  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } )
27 eqid 2085 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } )  =  ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } )
2826, 27fvmptg 5328 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  _V  /\  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  f  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( f `
 m ) ) )  \/  ( dom  f  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) }  e.  S )  -> 
( ( g  e. 
_V  |->  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) `  f )  =  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  f  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
f `  m )
) )  \/  ( dom  f  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } )
296, 15, 28sylancr 405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  /\  y  e. 
om  /\  f :
y --> S )  -> 
( ( g  e. 
_V  |->  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) `  f )  =  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  f  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
f `  m )
) )  \/  ( dom  f  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } )
3029, 15eqeltrd 2161 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  /\  y  e. 
om  /\  f :
y --> S )  -> 
( ( g  e. 
_V  |->  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) `  f )  e.  S )
31 limom 4394 . . . . . . . . . 10  |-  Lim  om
32 limuni 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
om  ->  om  =  U. om )
3331, 32ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  om  =  U. om
3433eleq2i 2151 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  <->  y  e.  U.
om )
35 peano2 4376 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
3634, 35sylbir 133 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. om  ->  suc  y  e.  om )
3736adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  /\  y  e. 
U. om )  ->  suc  y  e.  om )
3833eleq2i 2151 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  <->  k  e.  U.
om )
3938biimpi 118 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  om  ->  k  e.  U. om )
4039adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  ->  k  e.  U.
om )
411, 3, 5, 30, 37, 40tfrcldm 6063 . . . . 5  |-  ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  ->  k  e.  dom  G )
421, 3, 5, 30, 37, 40tfrcl 6064 . . . . 5  |-  ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  ->  ( G `  k )  e.  S
)
4341, 42jca 300 . . . 4  |-  ( ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S
)  /\  k  e.  om )  ->  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  S ) )
4443ralrimiva 2442 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S )  ->  A. k  e.  om  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  S ) )
45 tfrfun 6020 . . . . 5  |-  Fun recs (
( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )
461funeqi 4992 . . . . 5  |-  ( Fun 
G  <->  Fun recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) ) )
4745, 46mpbir 144 . . . 4  |-  Fun  G
48 ffvresb 5406 . . . 4  |-  ( Fun 
G  ->  ( ( G  |`  om ) : om --> S  <->  A. k  e.  om  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  S ) ) )
4947, 48ax-mp 7 . . 3  |-  ( ( G  |`  om ) : om --> S  <->  A. k  e.  om  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  S ) )
5044, 49sylibr 132 . 2  |-  ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S )  ->  ( G  |`  om ) : om --> S )
51 df-frec 6091 . . . 4  |- frec ( F ,  A )  =  (recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )
521reseq1i 4670 . . . 4  |-  ( G  |`  om )  =  (recs ( ( g  e. 
_V  |->  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )
5351, 52eqtr4i 2108 . . 3  |- frec ( F ,  A )  =  ( G  |`  om )
5453feq1i 5110 . 2  |-  (frec ( F ,  A ) : om --> S  <->  ( G  |` 
om ) : om --> S )
5550, 54sylibr 132 1  |-  ( ( A. z  e.  S  ( F `  z )  e.  S  /\  A  e.  S )  -> frec ( F ,  A ) : om --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436   {cab 2071   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2614   (/)c0 3272   U.cuni 3630    |-> cmpt 3868   Ord word 4156   Lim wlim 4158   suc csuc 4159   omcom 4371   dom cdm 4404    |` cres 4406   Fun wfun 4966   -->wf 4968   ` cfv 4972  recscrecs 6004  freccfrec 6090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-recs 6005  df-frec 6091
This theorem is referenced by:  frecfcl  6105
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