Theorem frecfcllem 6125

Description: Lemma for frecfcl 6126. Just giving a name to a common expression to simplify the proof. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfcllem.g	|- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
frecfcllem	|- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> frec ( F , A ) : om --> S )

Distinct variable groups:   A, g, m, x   g, F, m, x   z, F, m, x   S, m, x, z

Allowed substitution hints:   A( z)   S( g)   G( x, z, g, m)

Proof of Theorem frecfcllem

Dummy variables f y k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecfcllem.g	. . . . . 6 |- G = recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
2		funmpt 5019	. . . . . . 7 |- Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> Fun ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
4		ordom 4396	. . . . . . 7 |- Ord om
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> Ord om )
6		vex 2618	. . . . . . . 8 |- f e. _V
7		simp2 942	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> y e. om )
8		simp3 943	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> f : y --> S )
9		simp1ll 1004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A. z e. S ( F ` z ) e. S )
10		fveq2 5270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
11	10	eleq1d 2153	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( F ` z ) e. S <-> ( F ` w ) e. S ) )
12	11	cbvralv 2586	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. S ( F ` z ) e. S <-> A. w e. S ( F ` w ) e. S )
13	9, 12	sylib 120	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A. w e. S ( F ` w ) e. S )
14		simp1lr 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> A e. S )
15	7, 8, 13, 14	frecabcl 6120	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S )
16		dmeq 4606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> dom g = dom f )
17	16	eqeq1d 2093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( dom g = suc m <-> dom f = suc m ) )
18		fveq1 5269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( g ` m ) = ( f ` m ) )
19	18	fveq2d 5274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( F ` ( g ` m ) ) = ( F ` ( f ` m ) ) )
20	19	eleq2d 2154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( x e. ( F ` ( g ` m ) ) <-> x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
22	21	rexbidv 2377	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) <-> E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) ) )
23	16	eqeq1d 2093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( dom g = (/) <-> dom f = (/) ) )
24	23	anbi1d 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( ( dom g = (/) /\ x e. A ) <-> ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) )
25	22, 24	orbi12d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) ) )
26	25	abbidv 2202	. . . . . . . . 9 |- ( g = f -> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
27		eqid 2085	. . . . . . . . 9 |- ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
28	26, 27	fvmptg 5345	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. _V /\ { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } e. S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
29	6, 15, 28	sylancr 405	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) = { x | ( E. m e. om ( dom f = suc m /\ x e. ( F ` ( f ` m ) ) ) \/ ( dom f = (/) /\ x e. A ) ) } )
30	29, 15	eqeltrd 2161	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. om /\ f : y --> S ) -> ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ` f ) e. S )
31		limom 4403	. . . . . . . . . 10 |- Lim om
32		limuni 4199	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim om -> om = U. om )
33	31, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- om = U. om
34	33	eleq2i 2151	. . . . . . . 8 |- ( y e. om <-> y e. U. om )
35		peano2 4385	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> suc y e. om )
36	34, 35	sylbir 133	. . . . . . 7 |- ( y e. U. om -> suc y e. om )
37	36	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) /\ y e. U. om ) -> suc y e. om )
38	33	eleq2i 2151	. . . . . . . 8 |- ( k e. om <-> k e. U. om )
39	38	biimpi 118	. . . . . . 7 |- ( k e. om -> k e. U. om )
40	39	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> k e. U. om )
41	1, 3, 5, 30, 37, 40	tfrcldm 6084	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> k e. dom G )
42	1, 3, 5, 30, 37, 40	tfrcl 6085	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> ( G ` k ) e. S )
43	41, 42	jca 300	. . . 4 |- ( ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) /\ k e. om ) -> ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
44	43	ralrimiva 2442	. . 3 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
45		tfrfun 6041	. . . . 5 |- Fun recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) )
46	1	funeqi 5003	. . . . 5 |- ( Fun G <-> Fun recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) )
47	45, 46	mpbir 144	. . . 4 |- Fun G
48		ffvresb 5426	. . . 4 |- ( Fun G -> ( ( G |` om ) : om --> S <-> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) ) )
49	47, 48	ax-mp 7	. . 3 |- ( ( G |` om ) : om --> S <-> A. k e. om ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. S ) )
50	44, 49	sylibr 132	. 2 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> ( G |` om ) : om --> S )
51		df-frec 6112	. . . 4 |- frec ( F , A ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
52	1	reseq1i 4679	. . . 4 |- ( G |` om ) = (recs ( ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } ) ) |` om )
53	51, 52	eqtr4i 2108	. . 3 |- frec ( F , A ) = ( G |` om )
54	53	feq1i 5121	. 2 |- (frec ( F , A ) : om --> S <-> ( G |` om ) : om --> S )
55	50, 54	sylibr 132	1 |- ( ( A. z e. S ( F ` z ) e. S /\ A e. S ) -> frec ( F , A ) : om --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   /\ w3a 922   = wceq 1287   e. wcel 1436   {cab 2071   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615   (/)c0 3275   U.cuni 3638   |-> cmpt 3876   Ord word 4165   Lim wlim 4167   suc csuc 4168   omcom 4380   dom cdm 4413   |` cres 4415   Fun wfun 4977   -->wf 4979   ` cfv 4983  recscrecs 6025  freccfrec 6111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-recs 6026  df-frec 6112

This theorem is referenced by:  frecfcl  6126