Theorem fac0 11090

Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac0	|- ( ! ` 0 ) = 1

Proof of Theorem fac0

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8268	. 2 |- 0 e. _V
2		1ex 8269	. 2 |- 1 e. _V
3		df-fac 11088	. . 3 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
4		nnuz 9890	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5		dfn2 9509	. . . . . . 7 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	4, 5	eqtr3i 2255	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( NN0 \ { 0 } )
7	6	reseq2i 5035	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) )
8		eqid 2232	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
9		1zzd 9604	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
10		fvi 5734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) = f )
11	10	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
12	11	ibir 177	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13		eluzelcn 9865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
16		mulcl 8254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
18	8, 9, 15, 17	seqf 10826	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) : ( ZZ>= ` 1 ) --> CC )
19	18	ffnd 5509	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
20	19	mptru 1407	. . . . . 6 |- seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
21		fnresdm 5467	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I )
23	7, 22	eqtr3i 2255	. . . 4 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) = seq 1 ( x. , _I )
24	23	uneq2i 3370	. . 3 |- ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) ) = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
25	3, 24	eqtr4i 2256	. 2 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) )
26	1, 2, 25	fvsnun1 5881	1 |- ( ! ` 0 ) = 1

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2203   \ cdif 3208   u. cun 3209   {csn 3689   <.cop 3692   _I cid 4409   |` cres 4751   Fn wfn 5347   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   1c1 8128   x. cmul 8132   NNcn 9237   NN0cn0 9496   ZZ>=cuz 9853   seqcseq 10809   !cfa 11087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-fac 11088

This theorem is referenced by:  facp1  11092  faccl  11097  facwordi  11102  faclbnd  11103  facubnd  11107  bcn0  11117  bcval5  11125  fprodfac  12301  ef0lem  12346  ege2le3  12357  eft0val  12379  prmfac1  12849  pcfac  13048