ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fac0 Unicode version

Theorem fac0 10505
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0  |-  ( ! `
 0 )  =  1

Proof of Theorem fac0
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 7783 . 2  |-  0  e.  _V
2 1ex 7784 . 2  |-  1  e.  _V
3 df-fac 10503 . . 3  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  seq 1 (  x.  ,  _I  ) )
4 nnuz 9384 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 dfn2 9013 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
64, 5eqtr3i 2163 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( NN0  \  { 0 } )
76reseq2i 4823 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  {
0 } ) )
8 eqid 2140 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
9 1zzd 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
10 fvi 5485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  =  f )
1110eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (  _I  `  f )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  f  e.  ( ZZ>= `  1
) ) )
1211ibir 176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
13 eluzelcn 9360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _I  `  f )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
1514adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  f  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
16 mulcl 7770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  x.  g
)  e.  CC )
1716adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC ) )  -> 
( f  x.  g
)  e.  CC )
188, 9, 15, 17seqf 10264 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  x.  ,  _I  ) : ( ZZ>= `  1 ) --> CC )
1918ffnd 5280 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  x.  ,  _I  )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
2019mptru 1341 . . . . . 6  |-  seq 1
(  x.  ,  _I  )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 )
21 fnresdm 5239 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  =  seq 1
(  x.  ,  _I  ) )
2220, 21ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  )
237, 22eqtr3i 2163 . . . 4  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )  =  seq 1
(  x.  ,  _I  )
2423uneq2i 3231 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  1
>. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 0 ,  1
>. }  u.  seq 1
(  x.  ,  _I  ) )
253, 24eqtr4i 2164 . 2  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) ) )
261, 2, 25fvsnun1 5624 1  |-  ( ! `
 0 )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1332   T. wtru 1333    e. wcel 1481    \ cdif 3072    u. cun 3073   {csn 3531   <.cop 3534    _I cid 4217    |` cres 4548    Fn wfn 5125   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   CCcc 7641   0cc0 7643   1c1 7644    x. cmul 7648   NNcn 8743   NN0cn0 9000   ZZ>=cuz 9349    seqcseq 10248   !cfa 10502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-seqfrec 10249  df-fac 10503
This theorem is referenced by:  facp1  10507  faccl  10512  facwordi  10517  faclbnd  10518  facubnd  10522  bcn0  10532  bcval5  10540  ef0lem  11401  ege2le3  11412  eft0val  11434  prmfac1  11864
  Copyright terms: Public domain W3C validator