Theorem fvsnun1 5755

Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at the replaced ordered pair. See also fvsnun2 5756. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsnun.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvsnun.2	⊢ 𝐵 ∈ V
fvsnun.3	⊢ 𝐺 = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})))

Assertion

Ref	Expression
fvsnun1	⊢ (𝐺‘𝐴) = 𝐵

Proof of Theorem fvsnun1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsnun.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})))
2	1	reseq1i 4938	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾ {𝐴}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴})
3		resundir 4956	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}))
4		incom 3351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ (𝐶 ∖ {𝐴}))
5		disjdif 3519	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ∩ (𝐶 ∖ {𝐴})) = ∅
6	4, 5	eqtri 2214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
7		resdisj 5094	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅ → ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}) = ∅)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}) = ∅
9	8	uneq2i 3310	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴})) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ∅)
10		un0 3480	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ∅) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
11	9, 10	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
12	3, 11	eqtri 2214	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
13	2, 12	eqtri 2214	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾ {𝐴}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
14	13	fveq1i 5555	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴)
15		fvsnun.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
16	15	snid 3649	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}
17		fvres 5578	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐴} → ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (𝐺‘𝐴)
19		fvres 5578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐴} → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴))
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴)
21		fvsnun.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	15, 21	fvsn 5753	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵
23	20, 22	eqtri 2214	. 2 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = 𝐵
24	14, 18, 23	3eqtr3i 2222	1 ⊢ (𝐺‘𝐴) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∖ cdif 3150   ∪ cun 3151   ∩ cin 3152  ∅c0 3446  {csn 3618  ⟨cop 3621   ↾ cres 4661  ‘cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  fac0  10799