Theorem fvsnun1 5716

Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at the replaced ordered pair. See also fvsnun2 5717. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsnun.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvsnun.2	⊢ 𝐵 ∈ V
fvsnun.3	⊢ 𝐺 = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})))

Assertion

Ref	Expression
fvsnun1	⊢ (𝐺‘𝐴) = 𝐵

Proof of Theorem fvsnun1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsnun.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})))
2	1	reseq1i 4905	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾ {𝐴}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴})
3		resundir 4923	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}))
4		incom 3329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ (𝐶 ∖ {𝐴}))
5		disjdif 3497	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ∩ (𝐶 ∖ {𝐴})) = ∅
6	4, 5	eqtri 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
7		resdisj 5059	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅ → ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}) = ∅)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴}) = ∅
9	8	uneq2i 3288	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴})) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ∅)
10		un0 3458	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ∅) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
11	9, 10	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴}) ∪ ((𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴})) ↾ {𝐴})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
12	3, 11	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ (𝐹 ↾ (𝐶 ∖ {𝐴}))) ↾ {𝐴}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
13	2, 12	eqtri 2198	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾ {𝐴}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})
14	13	fveq1i 5518	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴)
15		fvsnun.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
16	15	snid 3625	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}
17		fvres 5541	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐴} → ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾ {𝐴})‘𝐴) = (𝐺‘𝐴)
19		fvres 5541	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐴} → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴))
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴)
21		fvsnun.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	15, 21	fvsn 5714	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵
23	20, 22	eqtri 2198	. 2 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ {𝐴})‘𝐴) = 𝐵
24	14, 18, 23	3eqtr3i 2206	1 ⊢ (𝐺‘𝐴) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∖ cdif 3128   ∪ cun 3129   ∩ cin 3130  ∅c0 3424  {csn 3594  ⟨cop 3597   ↾ cres 4630  ‘cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  fac0  10711