ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ge0gtmnf GIF version

Theorem ge0gtmnf 9389
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0gtmnf ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem ge0gtmnf
StepHypRef Expression
1 mnflt0 9353 . 2 -∞ < 0
2 mnfxr 7641 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
3 0xr 7631 . . . 4 0 ∈ ℝ*
4 xrltletr 9373 . . . 4 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
52, 3, 4mp3an12 1270 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
65imp 123 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → -∞ < 𝐴)
71, 6mpanr1 429 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1445   class class class wbr 3867  0cc0 7447  -∞cmnf 7617  *cxr 7618   < clt 7619  cle 7620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1re 7536  ax-addrcl 7539  ax-rnegex 7551  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-cnv 4475  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625
This theorem is referenced by:  ge0nemnf  9390  xrrege0  9391
  Copyright terms: Public domain W3C validator