Theorem ge0gtmnf 9836

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0gtmnf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem ge0gtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 9797	. 2 ⊢ -∞ < 0
2		mnfxr 8027	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		0xr 8017	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltletr 9820	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
5	2, 3, 4	mp3an12 1337	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
6	5	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → -∞ < 𝐴)
7	1, 6	mpanr1 437	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  0cc0 7824  -∞cmnf 8003  ℝ^*cxr 8004   < clt 8005   ≤ cle 8006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011

This theorem is referenced by:  ge0nemnf  9837  xrrege0  9838  pcgcd1  12340