Theorem ge0gtmnf 10102

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0gtmnf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem ge0gtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 10063	. 2 ⊢ -∞ < 0
2		mnfxr 8278	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		0xr 8268	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltletr 10086	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
5	2, 3, 4	mp3an12 1364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
6	5	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → -∞ < 𝐴)
7	1, 6	mpanr1 437	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  0cc0 8075  -∞cmnf 8254  ℝ^*cxr 8255   < clt 8256   ≤ cle 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262

This theorem is referenced by:  ge0nemnf  10103  xrrege0  10104  pcgcd1  12964