Theorem ge0gtmnf 9842

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0gtmnf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem ge0gtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 9803	. 2 ⊢ -∞ < 0
2		mnfxr 8033	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		0xr 8023	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltletr 9826	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
5	2, 3, 4	mp3an12 1338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
6	5	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → -∞ < 𝐴)
7	1, 6	mpanr1 437	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  0cc0 7830  -∞cmnf 8009  ℝ^*cxr 8010   < clt 8011   ≤ cle 8012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1re 7924  ax-addrcl 7927  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-cnv 4649  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017

This theorem is referenced by:  ge0nemnf  9843  xrrege0  9844  pcgcd1  12346