Theorem grpn0 13143

Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
grpn0	|- ( G e. Grp -> G =/= (/) )

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	grpbn0 13138	. 2 |- ( G e. Grp -> ( Base ` G ) =/= (/) )
3		fveq2 5558	. . . 4 |- ( G = (/) -> ( Base ` G ) = ( Base ` (/) ) )
4		base0 12704	. . . 4 |- (/) = ( Base ` (/) )
5	3, 4	eqtr4di 2247	. . 3 |- ( G = (/) -> ( Base ` G ) = (/) )
6	5	necon3i 2415	. 2 |- ( ( Base ` G ) =/= (/) -> G =/= (/) )
7	2, 6	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> G =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   (/)c0 3450   ` cfv 5258   Basecbs 12654   Grpcgrp 13108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1re 7971  ax-addrcl 7974

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8988  df-2 9046  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-plusg 12744  df-0g 12905  df-mgm 12975  df-sgrp 13021  df-mnd 13034  df-grp 13111

This theorem is referenced by: (None)