Theorem grpn0 13820

Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
grpn0	|- ( G e. Grp -> G =/= (/) )

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	grpbn0 13815	. 2 |- ( G e. Grp -> ( Base ` G ) =/= (/) )
3		fveq2 5693	. . . 4 |- ( G = (/) -> ( Base ` G ) = ( Base ` (/) ) )
4		base0 13383	. . . 4 |- (/) = ( Base ` (/) )
5	3, 4	eqtr4di 2289	. . 3 |- ( G = (/) -> ( Base ` G ) = (/) )
6	5	necon3i 2468	. 2 |- ( ( Base ` G ) =/= (/) -> G =/= (/) )
7	2, 6	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> G =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   ` cfv 5375   Basecbs 13333   Grpcgrp 13785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-inn 9287  df-2 9345  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-plusg 13424  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788

This theorem is referenced by: (None)