ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpn0 Unicode version

Theorem grpn0 12913
Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
grpn0  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  =/=  (/) )

Proof of Theorem grpn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21grpbn0 12910 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( Base `  G )  =/=  (/) )
3 fveq2 5517 . . . 4  |-  ( G  =  (/)  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  (/) ) )
4 base0 12514 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
53, 4eqtr4di 2228 . . 3  |-  ( G  =  (/)  ->  ( Base `  G )  =  (/) )
65necon3i 2395 . 2  |-  ( (
Base `  G )  =/=  (/)  ->  G  =/=  (/) )
72, 6syl 14 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   (/)c0 3424   ` cfv 5218   Basecbs 12464   Grpcgrp 12882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator