Theorem grpn0 12862

Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
grpn0	|- ( G e. Grp -> G =/= (/) )

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	grpbn0 12859	. 2 |- ( G e. Grp -> ( Base ` G ) =/= (/) )
3		fveq2 5515	. . . 4 |- ( G = (/) -> ( Base ` G ) = ( Base ` (/) ) )
4		base0 12506	. . . 4 |- (/) = ( Base ` (/) )
5	3, 4	eqtr4di 2228	. . 3 |- ( G = (/) -> ( Base ` G ) = (/) )
6	5	necon3i 2395	. 2 |- ( ( Base ` G ) =/= (/) -> G =/= (/) )
7	2, 6	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> G =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   (/)c0 3422   ` cfv 5216   Basecbs 12456   Grpcgrp 12831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834

This theorem is referenced by: (None)