Theorem grpn0 13722

Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
grpn0	|- ( G e. Grp -> G =/= (/) )

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	grpbn0 13717	. 2 |- ( G e. Grp -> ( Base ` G ) =/= (/) )
3		fveq2 5661	. . . 4 |- ( G = (/) -> ( Base ` G ) = ( Base ` (/) ) )
4		base0 13236	. . . 4 |- (/) = ( Base ` (/) )
5	3, 4	eqtr4di 2283	. . 3 |- ( G = (/) -> ( Base ` G ) = (/) )
6	5	necon3i 2460	. 2 |- ( ( Base ` G ) =/= (/) -> G =/= (/) )
7	2, 6	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> G =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   (/)c0 3505   ` cfv 5343   Basecbs 13186   Grpcgrp 13687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1re 8209  ax-addrcl 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-inn 9226  df-2 9284  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-base 13192  df-plusg 13277  df-0g 13445  df-mgm 13543  df-sgrp 13589  df-mnd 13604  df-grp 13690

This theorem is referenced by: (None)