ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpn0 GIF version

Theorem grpn0 12839
Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
grpn0 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21grpbn0 12836 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝐺) ≠ ∅)
3 fveq2 5513 . . . 4 (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
4 base0 12503 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
53, 4eqtr4di 2228 . . 3 (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = ∅)
65necon3i 2395 . 2 ((Base‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ≠ ∅)
72, 6syl 14 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  c0 3422  cfv 5214  Basecbs 12453  Grpcgrp 12808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1re 7901  ax-addrcl 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-inn 8915  df-2 8973  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-base 12459  df-plusg 12540  df-0g 12694  df-mgm 12706  df-sgrp 12739  df-mnd 12749  df-grp 12811
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator