Theorem grpn0 13789

Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
grpn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	grpbn0 13784	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝐺) ≠ ∅)
3		fveq2 5677	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
4		base0 13352	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5	3, 4	eqtr4di 2285	. . 3 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = ∅)
6	5	necon3i 2462	. 2 ⊢ ((Base‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ≠ ∅)
7	2, 6	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∅c0 3512  ‘cfv 5359  Basecbs 13302  Grpcgrp 13754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1re 8239  ax-addrcl 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-inn 9260  df-2 9318  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-plusg 13393  df-0g 13561  df-mgm 13625  df-sgrp 13666  df-mnd 13679  df-grp 13757

This theorem is referenced by: (None)