Theorem iccssioo 10008

Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccssioo	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( A < C /\ D < B ) ) -> ( C [,] D ) C_ ( A (,) B ) )

Proof of Theorem iccssioo

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 9958	. 2 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		df-icc 9961	. 2 |- [,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
3		xrltletr 9873	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( A < C /\ C <_ w ) -> A < w ) )
4		xrlelttr 9872	. 2 |- ( ( w e. RR* /\ D e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( w <_ D /\ D < B ) -> w < B ) )
5	1, 2, 3, 4	ixxss12 9972	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( A < C /\ D < B ) ) -> ( C [,] D ) C_ ( A (,) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   C_ wss 3153   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RR*cxr 8053   < clt 8054   <_ cle 8055   (,)cioo 9954   [,]cicc 9957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-ioo 9958  df-icc 9961

This theorem is referenced by:  iccssioo2  10012