Theorem icossico 9917

Description: Condition for a closed-below, open-above interval to be a subset of a closed-below, open-above interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
icossico	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( A <_ C /\ D <_ B ) ) -> ( C [,) D ) C_ ( A [,) B ) )

Proof of Theorem icossico

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 9868	. 2 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
2		xrletr 9782	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( A <_ C /\ C <_ w ) -> A <_ w ) )
3		xrltletr 9781	. 2 |- ( ( w e. RR* /\ D e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( w < D /\ D <_ B ) -> w < B ) )
4	1, 1, 2, 3	ixxss12 9880	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( A <_ C /\ D <_ B ) ) -> ( C [,) D ) C_ ( A [,) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   C_ wss 3129   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   RR*cxr 7968   < clt 7969   <_ cle 7970   [,)cico 9864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-ico 9868

This theorem is referenced by: (None)