Theorem dfgrp3me 13633

Description: Alternate definition of a group as a set with a closed, associative operation, for which solutions x and y of the equations ( a .+ x ) = b and ( x .+ a ) = b exist. Exercise 1 of [Herstein] p. 57. (Contributed by NM, 5-Dec-2006.) (Revised by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3me	|- ( G e. Grp <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, l, r, w, x, y, z   G, l, r, w, x, y, z   .+ , l, r, w, x, y, z

Proof of Theorem dfgrp3me

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfgrp3.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		dfgrp3.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	dfgrp3m 13632	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
4		simp2 1022	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. w w e. B )
5		sgrpmgm 13440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> G e. Mgm )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> G e. Mgm )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> x e. B )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> x e. B )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> y e. B )
11	1, 2	mgmcl 13392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
14	1, 2	sgrpass 13441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
15	14	3anassrs 1253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
16	15	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
19	13, 17, 18	3jca 1201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
21	20	ralimdva 2597	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
22	21	ralimdva 2597	. . . . . 6 |- ( G e. Smgrp -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
23	22	a1d 22	. . . . 5 |- ( G e. Smgrp -> ( E. w w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) ) )
24	23	3imp 1217	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
25	4, 24	jca 306	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
26		eleq1w 2290	. . . . . . 7 |- ( w = a -> ( w e. B <-> a e. B ) )
27	26	cbvexv 1965	. . . . . 6 |- ( E. w w e. B <-> E. a a e. B )
28		3simpa 1018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
29	28	2ralimi 2594	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
30	1, 2	issgrpn0 13438	. . . . . . . 8 |- ( a e. B -> ( G e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) ) )
31	29, 30	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( a e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
32	31	exlimiv 1644	. . . . . 6 |- ( E. a a e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
33	27, 32	sylbi 121	. . . . 5 |- ( E. w w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
34	33	imp 124	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> G e. Smgrp )
35		simpl 109	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> E. w w e. B )
36		simp3 1023	. . . . . 6 |- ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
37	36	2ralimi 2594	. . . . 5 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
38	37	adantl 277	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
39	34, 35, 38	3jca 1201	. . 3 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
40	25, 39	impbii 126	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
41	3, 40	bitri 184	1 |- ( G e. Grp <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110  Mgmcmgm 13387  Smgrpcsgrp 13434   Grpcgrp 13533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-sbg 13538

This theorem is referenced by: (None)