Theorem dfgrp3me 13232

Description: Alternate definition of a group as a set with a closed, associative operation, for which solutions x and y of the equations ( a .+ x ) = b and ( x .+ a ) = b exist. Exercise 1 of [Herstein] p. 57. (Contributed by NM, 5-Dec-2006.) (Revised by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3me	|- ( G e. Grp <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, l, r, w, x, y, z   G, l, r, w, x, y, z   .+ , l, r, w, x, y, z

Proof of Theorem dfgrp3me

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfgrp3.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		dfgrp3.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	dfgrp3m 13231	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
4		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. w w e. B )
5		sgrpmgm 13050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> G e. Mgm )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> G e. Mgm )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> x e. B )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> x e. B )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> y e. B )
11	1, 2	mgmcl 13002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
14	1, 2	sgrpass 13051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
15	14	3anassrs 1231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
16	15	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
19	13, 17, 18	3jca 1179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
21	20	ralimdva 2564	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
22	21	ralimdva 2564	. . . . . 6 |- ( G e. Smgrp -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
23	22	a1d 22	. . . . 5 |- ( G e. Smgrp -> ( E. w w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) ) )
24	23	3imp 1195	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
25	4, 24	jca 306	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
26		eleq1w 2257	. . . . . . 7 |- ( w = a -> ( w e. B <-> a e. B ) )
27	26	cbvexv 1933	. . . . . 6 |- ( E. w w e. B <-> E. a a e. B )
28		3simpa 996	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
29	28	2ralimi 2561	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
30	1, 2	issgrpn0 13048	. . . . . . . 8 |- ( a e. B -> ( G e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) ) )
31	29, 30	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( a e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
32	31	exlimiv 1612	. . . . . 6 |- ( E. a a e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
33	27, 32	sylbi 121	. . . . 5 |- ( E. w w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
34	33	imp 124	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> G e. Smgrp )
35		simpl 109	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> E. w w e. B )
36		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
37	36	2ralimi 2561	. . . . 5 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
38	37	adantl 277	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
39	34, 35, 38	3jca 1179	. . 3 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
40	25, 39	impbii 126	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
41	3, 40	bitri 184	1 |- ( G e. Grp <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  Mgmcmgm 12997  Smgrpcsgrp 13044   Grpcgrp 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137

This theorem is referenced by: (None)