Theorem dfgrp3me 13432

Description: Alternate definition of a group as a set with a closed, associative operation, for which solutions x and y of the equations ( a .+ x ) = b and ( x .+ a ) = b exist. Exercise 1 of [Herstein] p. 57. (Contributed by NM, 5-Dec-2006.) (Revised by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3me	|- ( G e. Grp <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, l, r, w, x, y, z   G, l, r, w, x, y, z   .+ , l, r, w, x, y, z

Proof of Theorem dfgrp3me

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfgrp3.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		dfgrp3.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	dfgrp3m 13431	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
4		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. w w e. B )
5		sgrpmgm 13239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> G e. Mgm )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> G e. Mgm )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> x e. B )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> x e. B )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> y e. B )
11	1, 2	mgmcl 13191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
14	1, 2	sgrpass 13240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
15	14	3anassrs 1232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
16	15	ralrimiva 2579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
19	13, 17, 18	3jca 1180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
21	20	ralimdva 2573	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
22	21	ralimdva 2573	. . . . . 6 |- ( G e. Smgrp -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
23	22	a1d 22	. . . . 5 |- ( G e. Smgrp -> ( E. w w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) ) )
24	23	3imp 1196	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
25	4, 24	jca 306	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
26		eleq1w 2266	. . . . . . 7 |- ( w = a -> ( w e. B <-> a e. B ) )
27	26	cbvexv 1942	. . . . . 6 |- ( E. w w e. B <-> E. a a e. B )
28		3simpa 997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
29	28	2ralimi 2570	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
30	1, 2	issgrpn0 13237	. . . . . . . 8 |- ( a e. B -> ( G e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) ) )
31	29, 30	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( a e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
32	31	exlimiv 1621	. . . . . 6 |- ( E. a a e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
33	27, 32	sylbi 121	. . . . 5 |- ( E. w w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
34	33	imp 124	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> G e. Smgrp )
35		simpl 109	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> E. w w e. B )
36		simp3 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
37	36	2ralimi 2570	. . . . 5 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
38	37	adantl 277	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
39	34, 35, 38	3jca 1180	. . 3 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
40	25, 39	impbii 126	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
41	3, 40	bitri 184	1 |- ( G e. Grp <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909  Mgmcmgm 13186  Smgrpcsgrp 13233   Grpcgrp 13332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337

This theorem is referenced by: (None)