Theorem dfgrp3me 13682

Description: Alternate definition of a group as a set with a closed, associative operation, for which solutions x and y of the equations ( a .+ x ) = b and ( x .+ a ) = b exist. Exercise 1 of [Herstein] p. 57. (Contributed by NM, 5-Dec-2006.) (Revised by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3me	|- ( G e. Grp <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, l, r, w, x, y, z   G, l, r, w, x, y, z   .+ , l, r, w, x, y, z

Proof of Theorem dfgrp3me

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfgrp3.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		dfgrp3.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	dfgrp3m 13681	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
4		simp2 1024	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. w w e. B )
5		sgrpmgm 13489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> G e. Mgm )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> G e. Mgm )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> x e. B )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> x e. B )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> y e. B )
11	1, 2	mgmcl 13441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
14	1, 2	sgrpass 13490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
15	14	3anassrs 1255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
16	15	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
19	13, 17, 18	3jca 1203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
21	20	ralimdva 2599	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Smgrp /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
22	21	ralimdva 2599	. . . . . 6 |- ( G e. Smgrp -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
23	22	a1d 22	. . . . 5 |- ( G e. Smgrp -> ( E. w w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) ) )
24	23	3imp 1219	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
25	4, 24	jca 306	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
26		eleq1w 2292	. . . . . . 7 |- ( w = a -> ( w e. B <-> a e. B ) )
27	26	cbvexv 1967	. . . . . 6 |- ( E. w w e. B <-> E. a a e. B )
28		3simpa 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
29	28	2ralimi 2596	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
30	1, 2	issgrpn0 13487	. . . . . . . 8 |- ( a e. B -> ( G e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) ) )
31	29, 30	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( a e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
32	31	exlimiv 1646	. . . . . 6 |- ( E. a a e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
33	27, 32	sylbi 121	. . . . 5 |- ( E. w w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp ) )
34	33	imp 124	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> G e. Smgrp )
35		simpl 109	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> E. w w e. B )
36		simp3 1025	. . . . . 6 |- ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
37	36	2ralimi 2596	. . . . 5 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
38	37	adantl 277	. . . 4 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
39	34, 35, 38	3jca 1203	. . 3 |- ( ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) -> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
40	25, 39	impbii 126	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )
41	3, 40	bitri 184	1 |- ( G e. Grp <-> ( E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) /\ ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Mgmcmgm 13436  Smgrpcsgrp 13483   Grpcgrp 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587

This theorem is referenced by: (None)