Theorem issgrpn0 13720

Description: The predicate "is a semigroup" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 1-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
issgrpn0.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
issgrpn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Smgrp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ⚬ 𝑧) = (𝑥 ⚬ (𝑦 ⚬ 𝑧)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑥, ⚬ ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem issgrpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issgrpn0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		issgrpn0.o	. . . 4 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
3	1, 2	ismgmn0 13678	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))
4	3	anbi1d 469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝑀 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ⚬ 𝑧) = (𝑥 ⚬ (𝑦 ⚬ 𝑧))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ⚬ 𝑧) = (𝑥 ⚬ (𝑦 ⚬ 𝑧)))))
5	1, 2	issgrp 13718	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Smgrp ↔ (𝑀 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ⚬ 𝑧) = (𝑥 ⚬ (𝑦 ⚬ 𝑧))))
6		r19.26-2 2680	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ⚬ 𝑧) = (𝑥 ⚬ (𝑦 ⚬ 𝑧))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ⚬ 𝑧) = (𝑥 ⚬ (𝑦 ⚬ 𝑧))))
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Smgrp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ⚬ 𝑦) ⚬ 𝑧) = (𝑥 ⚬ (𝑦 ⚬ 𝑧)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  Mgmcmgm 13674  Smgrpcsgrp 13716

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mgm 13676  df-sgrp 13717

This theorem is used by:  dfgrp3me  13905