Theorem ismgmn0 13305

Description: The predicate "is a magma" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmn0.b	|- B = ( Base ` M )
ismgmn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
ismgmn0	|- ( A e. B -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, M, y   x, .o. , y

Allowed substitution hints:   A( x, y)

Proof of Theorem ismgmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13005	. . . . . 6 |- Base Fn _V
2		fnrel 5391	. . . . . 6 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel Base
4		relelfvdm 5631	. . . . 5 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` M ) ) -> M e. dom Base )
5	3, 4	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. ( Base ` M ) -> M e. dom Base )
6		ismgmn0.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
7	5, 6	eleq2s 2302	. . 3 |- ( A e. B -> M e. dom Base )
8	7	elexd 2790	. 2 |- ( A e. B -> M e. _V )
9		ismgmn0.o	. . 3 |- .o. = ( +g ` M )
10	6, 9	ismgm 13304	. 2 |- ( M e. _V -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
11	8, 10	syl 14	1 |- ( A e. B -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   dom cdm 4693   Rel wrel 4698   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024  Mgmcmgm 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mgm 13303

This theorem is referenced by:  mgm1  13317  opifismgmdc  13318  issgrpn0  13352