Theorem ismgmn0 13001

Description: The predicate "is a magma" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmn0.b	|- B = ( Base ` M )
ismgmn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
ismgmn0	|- ( A e. B -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, M, y   x, .o. , y

Allowed substitution hints:   A( x, y)

Proof of Theorem ismgmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12736	. . . . . 6 |- Base Fn _V
2		fnrel 5356	. . . . . 6 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel Base
4		relelfvdm 5590	. . . . 5 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` M ) ) -> M e. dom Base )
5	3, 4	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. ( Base ` M ) -> M e. dom Base )
6		ismgmn0.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
7	5, 6	eleq2s 2291	. . 3 |- ( A e. B -> M e. dom Base )
8	7	elexd 2776	. 2 |- ( A e. B -> M e. _V )
9		ismgmn0.o	. . 3 |- .o. = ( +g ` M )
10	6, 9	ismgm 13000	. 2 |- ( M e. _V -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
11	8, 10	syl 14	1 |- ( A e. B -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   dom cdm 4663   Rel wrel 4668   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  Mgmcmgm 12997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mgm 12999

This theorem is referenced by:  mgm1  13013  opifismgmdc  13014  issgrpn0  13048