ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  istopfin GIF version

Theorem istopfin 12565
Description: Express the predicate "𝐽 is a topology" using nonempty finite intersections instead of binary intersections as in istopg 12564. It is not clear we can prove the converse without adding additional conditions. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
istopfin (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Proof of Theorem istopfin
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istopg 12564 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑦) ∈ 𝐽)))
21ibi 175 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑦) ∈ 𝐽))
3 fiintim 6886 . . 3 (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))
43anim2i 340 . 2 ((∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑦) ∈ 𝐽) → (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)))
52, 4syl 14 1 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 967  wal 1340  wcel 2135  wne 2334  wral 2442  cin 3111  wss 3112  c0 3405   cuni 3784   cint 3819  Fincfn 6698  Topctop 12562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-iinf 4560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2724  df-sbc 2948  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-br 3978  df-opab 4039  df-id 4266  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-er 6493  df-en 6699  df-fin 6701  df-top 12563
This theorem is referenced by:  fiinopn  12569
  Copyright terms: Public domain W3C validator