Theorem le2addd 8710

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
lt2addd.4	|- ( ph -> D e. RR )
le2addd.5	|- ( ph -> A <_ C )
le2addd.6	|- ( ph -> B <_ D )

Assertion

Ref	Expression
le2addd	|- ( ph -> ( A + B ) <_ ( C + D ) )

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
2		le2addd.6	. 2 |- ( ph -> B <_ D )
3		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lt2addd.4	. . 3 |- ( ph -> D e. RR )
7		le2add 8591	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A + B ) <_ ( C + D ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1272	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A + B ) <_ ( C + D ) ) )
9	1, 2, 8	mp2and 433	1 |- ( ph -> ( A + B ) <_ ( C + D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   + caddc 8002   <_ cle 8182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187

This theorem is referenced by:  4sqlem11  12924  4sqlem12  12925  4sqlem15  12928  4sqlem16  12929  lgsdirprm  15713  lgseisenlem2  15750  2sqlem8  15802