ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  le2addd GIF version

Theorem le2addd 8337
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5 (𝜑𝐴𝐶)
le2addd.6 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
le2addd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
2 le2addd.6 . 2 (𝜑𝐵𝐷)
3 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 lt2addd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 le2add 8218 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1217 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
91, 2, 8mp2and 429 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7631   + caddc 7635  cle 7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator