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Theorem 2sqlem8 14010
Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem7.2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
2sqlem9.5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
2sqlem9.7  |-  ( ph  ->  M  ||  N )
2sqlem8.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2sqlem8.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2sqlem8.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqlem8.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqlem8.3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
2sqlem8.4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
2sqlem8.c  |-  C  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2sqlem8.d  |-  D  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2sqlem8.e  |-  E  =  ( C  /  ( C  gcd  D ) )
2sqlem8.f  |-  F  =  ( D  /  ( C  gcd  D ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem8  |-  ( ph  ->  M  e.  S )
Distinct variable groups:    a, b, w, x, y, z    A, a, x, y, z    x, C    ph, x, y    B, a, b, x, y    M, a, b, x, y, z    S, a, b, x, y, z    x, D    E, a, x, y, z    x, N, y, z    Y, a, b, x, y    F, a, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, a, b)    A( w, b)    B( z, w)    C( y, z, w, a, b)    D( y, z, w, a, b)    S( w)    E( w, b)    F( w, b)    M( w)    N( w, a, b)    Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem8
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . 2  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2 2sqlem8.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 eluz2b3 9575 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  M  =/=  1 ) )
42, 3sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  M  =/=  1 ) )
54simpld 112 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
6 2sqlem9.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  ||  N )
7 eluzelz 9508 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  ZZ )
82, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 2sqlem8.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
109nnzd 9345 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
11 2sqlem8.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
12 2sqlem8.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1311, 5, 124sqlem5 12345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1413simpld 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
15 zsqcl 10558 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
17 2sqlem8.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
18 2sqlem8.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1917, 5, 184sqlem5 12345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ ) )
2019simpld 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
21 zsqcl 10558 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
2316, 22zaddcld 9350 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
24 zsqcl 10558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
2511, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
2625, 16zsubcld 9351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
27 zsqcl 10558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
2817, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
2928, 22zsubcld 9351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
3011, 5, 124sqlem8 12348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^
2 ) ) )
3117, 5, 184sqlem8 12348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^
2 ) ) )
328, 26, 29, 30, 31dvds2addd 11802 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
33 2sqlem8.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
3433oveq1d 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
3525zcnd 9347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
3628zcnd 9347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
3716zcnd 9347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
3822zcnd 9347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
3935, 36, 37, 38addsub4d 8289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
4034, 39eqtrd 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
4132, 40breqtrrd 4026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( N  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
42 dvdssub2 11808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )  /\  M  ||  ( N  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )  ->  ( M  ||  N 
<->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) ) )
438, 10, 23, 41, 42syl31anc 1241 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
446, 43mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
45 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
46 2sqlem9.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
47 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
481, 45, 46, 6, 9, 2, 11, 17, 47, 33, 12, 182sqlem8a 14009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  NN )
4948nnzd 9345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  ZZ )
50 zsqcl2 10565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  ->  (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  e.  NN0 )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  NN0 )
5251nn0cnd 9202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  CC )
53 2sqlem8.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( C  /  ( C  gcd  D ) )
54 gcddvds 11929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D ) )
5514, 20, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D ) )
5655simpld 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  ||  C )
5748nnne0d 8935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  =/=  0 )
58 dvdsval2 11763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  =/=  0  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  D
)  ||  C  <->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
5949, 57, 14, 58syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  <->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6056, 59mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ )
6153, 60eqeltrid 2262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
62 zsqcl2 10565 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e. 
NN0 )
6361, 62syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  NN0 )
6463nn0cnd 9202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
65 2sqlem8.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( D  /  ( C  gcd  D ) )
6655simprd 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  ||  D )
67 dvdsval2 11763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  =/=  0  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  D
)  ||  D  <->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6849, 57, 20, 67syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  D  <->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6966, 68mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ )
7065, 69eqeltrid 2262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
71 zsqcl2 10565 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e. 
NN0 )
7270, 71syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
7372nn0cnd 9202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
7452, 64, 73adddid 7956 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  +  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
7549zcnd 9347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  CC )
7661zcnd 9347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
7775, 76sqmuld 10633 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
7853oveq2i 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  gcd  D )  x.  E )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( C  /  ( C  gcd  D ) ) )
7914zcnd 9347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8048nnap0d 8936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
) #  0 )
8179, 75, 80divcanap2d 8721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( C  /  ( C  gcd  D ) ) )  =  C )
8278, 81eqtrid 2220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  E )  =  C )
8382oveq1d 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
8477, 83eqtr3d 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
8570zcnd 9347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
8675, 85sqmuld 10633 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )
8765oveq2i 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  gcd  D )  x.  F )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( D  /  ( C  gcd  D ) ) )
8820zcnd 9347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
8988, 75, 80divcanap2d 8721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( D  /  ( C  gcd  D ) ) )  =  D )
9087, 89eqtrid 2220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  F )  =  D )
9190oveq1d 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  F ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
9286, 91eqtr3d 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( D ^
2 ) )
9384, 92oveq12d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
9474, 93eqtrd 2208 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
9544, 94breqtrrd 4026 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
96 zsqcl 10558 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  ->  (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  e.  ZZ )
9749, 96syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ )
988, 97gcdcomd 11940 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  gcd  M ) )
9949, 8gcdcld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN0 )
10099nn0zd 9344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ )
101 gcddvds 11929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M ) )
10249, 8, 101syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M ) )
103102simpld 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( C  gcd  D ) )
104100, 49, 14, 103, 56dvdstrd 11803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  C )
10511, 14zsubcld 9351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  e.  ZZ )
106102simprd 114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M )
10713simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ )
1085nnne0d 8935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
109 dvdsval2 11763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( A  -  C )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( A  -  C )  <->  ( ( A  -  C )  /  M )  e.  ZZ ) )
1108, 108, 105, 109syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( A  -  C )  <->  ( ( A  -  C
)  /  M )  e.  ZZ ) )
111107, 110mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  ||  ( A  -  C ) )
112100, 8, 105, 106, 111dvdstrd 11803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( A  -  C ) )
113 dvdssub2 11808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( A  -  C ) )  -> 
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  A  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  C ) )
114100, 11, 14, 112, 113syl31anc 1241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  A  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  C ) )
115104, 114mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  A )
116100, 49, 20, 103, 66dvdstrd 11803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  D )
11717, 20zsubcld 9351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  -  D
)  e.  ZZ )
11819simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ )
119 dvdsval2 11763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( B  -  D )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( B  -  D )  <->  ( ( B  -  D )  /  M )  e.  ZZ ) )
1208, 108, 117, 119syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( B  -  D )  <->  ( ( B  -  D
)  /  M )  e.  ZZ ) )
121118, 120mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  ||  ( B  -  D ) )
122100, 8, 117, 106, 121dvdstrd 11803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( B  -  D ) )
123 dvdssub2 11808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( B  -  D ) )  -> 
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  D ) )
124100, 17, 20, 122, 123syl31anc 1241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  D ) )
125116, 124mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  B )
126 1ne0 8958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =/=  0
127126a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
12847, 127eqnetrd 2369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =/=  0 )
129128neneqd 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( A  gcd  B )  =  0 )
130 gcdeq0 11943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  0  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
13111, 17, 130syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  =  0  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
132129, 131mtbid 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
133 dvdslegcd 11930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  A  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  ( A  gcd  B ) ) )
134100, 11, 17, 132, 133syl31anc 1241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  A  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  ( A  gcd  B ) ) )
135115, 125, 134mp2and 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  <_  ( A  gcd  B ) )
136135, 47breqtrd 4024 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  <_  1 )
137 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
138137necon3ai 2394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )
139108, 138syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )
140 gcdn0cl 11928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )  -> 
( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN )
14149, 8, 139, 140syl21anc 1237 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN )
142 nnle1eq1 8914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  e.  NN  ->  ( (
( C  gcd  D
)  gcd  M )  <_  1  <->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  =  1 ) )
143141, 142syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  1  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  =  1 ) )
144136, 143mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  =  1 )
145 2nn 9051 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
146145a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
147 rplpwr 11993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  (
( ( C  gcd  D )  gcd  M )  =  1  ->  (
( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  gcd  M )  =  1 ) )
14848, 5, 146, 147syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  =  1  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  gcd 
M )  =  1 ) )
149144, 148mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  gcd  M
)  =  1 )
15098, 149eqtrd 2208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  1 )
15163, 72nn0addcld 9204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0 )
152151nn0zd 9344 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
153 coprmdvds 12057 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  ( M  gcd  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )  =  1 )  ->  M  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
1548, 97, 152, 153syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  ( M  gcd  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )  =  1 )  ->  M  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
15595, 150, 154mp2and 433 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
156 dvdsval2 11763 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1578, 108, 152, 156syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
158155, 157mpbid 147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ )
15963nn0red 9201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
16072nn0red 9201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
161159, 160readdcld 7961 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
1625nnred 8903 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1631, 452sqlem7 14008 . . . . . . 7  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
164 inss2 3354 . . . . . . 7  |-  ( S  i^i  NN )  C_  NN
165163, 164sstri 3162 . . . . . 6  |-  Y  C_  NN
16661, 70gcdcld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  e.  NN0 )
167166nn0cnd 9202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  e.  CC )
168 1cnd 7948 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
16975mulid1d 7949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  1 )  =  ( C  gcd  D ) )
17082, 90oveq12d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  (
( C  gcd  D
)  x.  F ) )  =  ( C  gcd  D ) )
17114, 20gcdcld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  NN0 )
172 mulgcd 11982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  NN0  /\  E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  (
( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  ( ( C  gcd  D )  x.  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) ) )
173171, 61, 70, 172syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  (
( C  gcd  D
)  x.  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) ) )
174169, 170, 1733eqtr2rd 2215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  1 ) )
175167, 168, 75, 80, 174mulcanapad 8593 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  =  1 )
176 eqidd 2176 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
177 oveq1 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
x  gcd  y )  =  ( E  gcd  y ) )
178177eqeq1d 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  gcd  y
)  =  1  <->  ( E  gcd  y )  =  1 ) )
179 oveq1 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  E  ->  (
x ^ 2 )  =  ( E ^
2 ) )
180179oveq1d 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
181180eqeq2d 2187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
182178, 181anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( E  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
183 oveq2 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  ( E  gcd  y )  =  ( E  gcd  F
) )
184183eqeq1d 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( E  gcd  y
)  =  1  <->  ( E  gcd  F )  =  1 ) )
185 oveq1 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  F  ->  (
y ^ 2 )  =  ( F ^
2 ) )
186185oveq2d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
187186eqeq2d 2187 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
188184, 187anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( E  gcd  F )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
189182, 188rspc2ev 2854 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ  /\  (
( E  gcd  F
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
19061, 70, 175, 176, 189syl112anc 1242 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) )
191 eqeq1 2182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
192191anbi2d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
1931922rexbidv 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) ) )
194193, 45elab2g 2882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
195151, 194syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) ) )
196190, 195mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )
197165, 196sselid 3151 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN )
198197nngt0d 8934 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
1995nngt0d 8934 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  M )
200161, 162, 198, 199divgt0d 8863 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )
201 elnnz 9234 . . 3  |-  ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  NN  <->  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) ) )
202158, 200, 201sylanbrc 417 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  NN )
203 prmnn 12075 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
204203ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  NN )
205204nnred 8903 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  RR )
206158adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  ZZ )
207206zred 9346 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  RR )
208 peano2zm 9262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
2098, 208syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
210209zred 9346 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
211210adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
212 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) )
213 prmz 12076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
214213ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  ZZ )
215202adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  NN )
216 dvdsle 11815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  NN )  ->  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ->  p  <_  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )
217214, 215, 216syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  ||  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  ->  p  <_  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M ) ) )
218212, 217mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  <_  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) )
219 zsqcl 10558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
2208, 219syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
221220zred 9346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR )
222221rehalfcld 9136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
22316zred 9346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
22422zred 9346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  RR )
225223, 224readdcld 7961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  RR )
226 1red 7947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
22748nnsqcld 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  NN )
228227nnred 8903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  RR )
229151nn0ge0d 9203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
230227nnge1d 8933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  <_  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )
231226, 228, 161, 229, 230lemul1ad 8867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  <_  ( (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
232151nn0cnd 9202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
233232mulid2d 7950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
234231, 233, 943brtr3d 4029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
235222rehalfcld 9136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  RR )
23611, 5, 124sqlem7 12347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
23717, 5, 184sqlem7 12347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
238223, 224, 235, 235, 236, 237le2addd 8494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
239222recnd 7960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
2402392halvesd 9135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )
241238, 240breqtrd 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
242161, 225, 222, 234, 241letrd 8055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
2435nnsqcld 10642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
244243nnrpd 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR+ )
245 rphalflt 9652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( M ^ 2 )  /  2 )  < 
( M ^ 2 ) )
246244, 245syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  <  ( M ^ 2 ) )
247161, 222, 221, 242, 246lelttrd 8056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M ^ 2 ) )
2488zcnd 9347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
249248sqvald 10618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
250247, 249breqtrd 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) )
251 ltdivmul 8804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  -> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) ) )
252161, 162, 162, 199, 251syl112anc 1242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) ) )
253250, 252mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  <  M )
254 zltlem1 9281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) ) )
255158, 8, 254syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) ) )
256253, 255mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  <_  ( M  -  1 ) )
257256adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) )
258205, 207, 211, 218, 257letrd 8055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  <_  ( M  -  1 ) )
259209adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
260 fznn 10057 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_ 
( M  -  1 ) ) ) )
261259, 260syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_ 
( M  -  1 ) ) ) )
262204, 258, 261mpbir2and 944 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )
263196adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )
264262, 263jca 306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y ) )
26546adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) )
266152adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
267 dvdsmul2 11787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  ||  ( M  x.  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )
2688, 158, 267syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ||  ( M  x.  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) ) )
2695nnap0d 8936 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M #  0 )
270232, 248, 269divcanap2d 8721 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
271268, 270breqtrd 4024 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
272271adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) 
||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
273214, 206, 266, 212, 272dvdstrd 11803 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
274 breq1 4001 . . . . . . 7  |-  ( b  =  p  ->  (
b  ||  a  <->  p  ||  a
) )
275 eleq1w 2236 . . . . . . 7  |-  ( b  =  p  ->  (
b  e.  S  <->  p  e.  S ) )
276274, 275imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( b  =  p  ->  (
( b  ||  a  ->  b  e.  S )  <-> 
( p  ||  a  ->  p  e.  S ) ) )
277 breq2 4002 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
p  ||  a  <->  p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
278277imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
( p  ||  a  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  p  e.  S
) ) )
279276, 278rspc2v 2852 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )  ->  ( A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
)  ->  ( p  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  p  e.  S ) ) )
280264, 265, 273, 279syl3c 63 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  S )
281280expr 375 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ->  p  e.  S ) )
282281ralrimiva 2548 . 2  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  ->  p  e.  S )
)
283 inss1 3353 . . . . 5  |-  ( S  i^i  NN )  C_  S
284163, 283sstri 3162 . . . 4  |-  Y  C_  S
285284, 196sselid 3151 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  S )
286270, 285eqeltrd 2252 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )  e.  S )
2871, 5, 202, 282, 2862sqlem6 14007 1  |-  ( ph  ->  M  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2146   {cab 2161    =/= wne 2345   A.wral 2453   E.wrex 2454    i^i cin 3126   class class class wbr 3998    |-> cmpt 4059   ran crn 4621   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787    + caddc 7789    x. cmul 7791    < clt 7966    <_ cle 7967    - cmin 8102    / cdiv 8601   NNcn 8890   2c2 8941   NN0cn0 9147   ZZcz 9224   ZZ>=cuz 9499   RR+crp 9622   ...cfz 9977    mod cmo 10290   ^cexp 10487   abscabs 10972    || cdvds 11760    gcd cgcd 11908   Primecprime 12072   ZZ[_i]cgz 12332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761  df-gcd 11909  df-prm 12073  df-gz 12333
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