Theorem 2sqlem8 13753

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
2sqlem9.5	|- ( ph -> A. b e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
2sqlem9.7	|- ( ph -> M || N )
2sqlem8.n	|- ( ph -> N e. NN )
2sqlem8.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2sqlem8.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
2sqlem8.2	|- ( ph -> B e. ZZ )
2sqlem8.3	|- ( ph -> ( A gcd B ) = 1 )
2sqlem8.4	|- ( ph -> N = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
2sqlem8.c	|- C = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
2sqlem8.d	|- D = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
2sqlem8.e	|- E = ( C / ( C gcd D ) )
2sqlem8.f	|- F = ( D / ( C gcd D ) )

Assertion

Ref	Expression
2sqlem8	|- ( ph -> M e. S )

Distinct variable groups:   a, b, w, x, y, z   A, a, x, y, z   x, C   ph, x, y   B, a, b, x, y   M, a, b, x, y, z   S, a, b, x, y, z   x, D   E, a, x, y, z   x, N, y, z   Y, a, b, x, y   F, a, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w, a, b)   A( w, b)   B( z, w)   C( y, z, w, a, b)   D( y, z, w, a, b)   S( w)   E( w, b)   F( w, b)   M( w)   N( w, a, b)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem8

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. 2 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2		2sqlem8.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		eluz2b3 9563	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( M e. NN /\ M =/= 1 ) )
4	2, 3	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> ( M e. NN /\ M =/= 1 ) )
5	4	simpld 111	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
6		2sqlem9.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> M || N )
7		eluzelz 9496	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. ZZ )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		2sqlem8.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
10	9	nnzd 9333	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
11		2sqlem8.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
12		2sqlem8.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
13	11, 5, 12	4sqlem5 12334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C e. ZZ /\ ( ( A - C ) / M ) e. ZZ ) )
14	13	simpld 111	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ZZ )
15		zsqcl 10546	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
17		2sqlem8.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ZZ )
18		2sqlem8.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
19	17, 5, 18	4sqlem5 12334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D e. ZZ /\ ( ( B - D ) / M ) e. ZZ ) )
20	19	simpld 111	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. ZZ )
21		zsqcl 10546	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
23	16, 22	zaddcld 9338	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
24		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
25	11, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
26	25, 16	zsubcld 9339	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( C ^ 2 ) ) e. ZZ )
27		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
28	17, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
29	28, 22	zsubcld 9339	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) - ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
30	11, 5, 12	4sqlem8 12337	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( C ^ 2 ) ) )
31	17, 5, 18	4sqlem8 12337	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( B ^ 2 ) - ( D ^ 2 ) ) )
32	8, 26, 29, 30, 31	dvds2addd 11791	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( C ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( D ^ 2 ) ) ) )
33		2sqlem8.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
34	33	oveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
35	25	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
36	28	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
37	16	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
38	22	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
39	35, 36, 37, 38	addsub4d 8277	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( C ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( D ^ 2 ) ) ) )
40	34, 39	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( C ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( D ^ 2 ) ) ) )
41	32, 40	breqtrrd 4017	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( N - ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
42		dvdssub2 11797	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ ) /\ M || ( N - ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) -> ( M || N <-> M || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
43	8, 10, 23, 41, 42	syl31anc 1236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M || N <-> M || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
44	6, 43	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ph -> M || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
45		2sqlem7.2	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
46		2sqlem9.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. b e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
47		2sqlem8.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A gcd B ) = 1 )
48	1, 45, 46, 6, 9, 2, 11, 17, 47, 33, 12, 18	2sqlem8a 13752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C gcd D ) e. NN )
49	48	nnzd 9333	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C gcd D ) e. ZZ )
50		zsqcl2 10553	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C gcd D ) e. ZZ -> ( ( C gcd D ) ^ 2 ) e. NN0 )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) ^ 2 ) e. NN0 )
52	51	nn0cnd 9190	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) ^ 2 ) e. CC )
53		2sqlem8.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( C / ( C gcd D ) )
54		gcddvds 11918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( ( C gcd D ) || C /\ ( C gcd D ) || D ) )
55	14, 20, 54	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) || C /\ ( C gcd D ) || D ) )
56	55	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C gcd D ) || C )
57	48	nnne0d 8923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C gcd D ) =/= 0 )
58		dvdsval2 11752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C gcd D ) e. ZZ /\ ( C gcd D ) =/= 0 /\ C e. ZZ ) -> ( ( C gcd D ) || C <-> ( C / ( C gcd D ) ) e. ZZ ) )
59	49, 57, 14, 58	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) || C <-> ( C / ( C gcd D ) ) e. ZZ ) )
60	56, 59	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C / ( C gcd D ) ) e. ZZ )
61	53, 60	eqeltrid 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ZZ )
62		zsqcl2 10553	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
64	63	nn0cnd 9190	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
65		2sqlem8.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( D / ( C gcd D ) )
66	55	simprd 113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C gcd D ) || D )
67		dvdsval2 11752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C gcd D ) e. ZZ /\ ( C gcd D ) =/= 0 /\ D e. ZZ ) -> ( ( C gcd D ) || D <-> ( D / ( C gcd D ) ) e. ZZ ) )
68	49, 57, 20, 67	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) || D <-> ( D / ( C gcd D ) ) e. ZZ ) )
69	66, 68	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D / ( C gcd D ) ) e. ZZ )
70	65, 69	eqeltrid 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ZZ )
71		zsqcl2 10553	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
73	72	nn0cnd 9190	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
74	52, 64, 73	adddid 7944	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( F ^ 2 ) ) ) )
75	49	zcnd 9335	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C gcd D ) e. CC )
76	61	zcnd 9335	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. CC )
77	75, 76	sqmuld 10621	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) x. E ) ^ 2 ) = ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( E ^ 2 ) ) )
78	53	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C gcd D ) x. E ) = ( ( C gcd D ) x. ( C / ( C gcd D ) ) )
79	14	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. CC )
80	48	nnap0d 8924	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C gcd D ) # 0 )
81	79, 75, 80	divcanap2d 8709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) x. ( C / ( C gcd D ) ) ) = C )
82	78, 81	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) x. E ) = C )
83	82	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) x. E ) ^ 2 ) = ( C ^ 2 ) )
84	77, 83	eqtr3d 2205	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )
85	70	zcnd 9335	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. CC )
86	75, 85	sqmuld 10621	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) x. F ) ^ 2 ) = ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( F ^ 2 ) ) )
87	65	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C gcd D ) x. F ) = ( ( C gcd D ) x. ( D / ( C gcd D ) ) )
88	20	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. CC )
89	88, 75, 80	divcanap2d 8709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) x. ( D / ( C gcd D ) ) ) = D )
90	87, 89	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) x. F ) = D )
91	90	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) x. F ) ^ 2 ) = ( D ^ 2 ) )
92	86, 91	eqtr3d 2205	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( F ^ 2 ) ) = ( D ^ 2 ) )
93	84, 92	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
94	74, 93	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
95	44, 94	breqtrrd 4017	. . . . 5 |- ( ph -> M || ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
96		zsqcl 10546	. . . . . . . 8 |- ( ( C gcd D ) e. ZZ -> ( ( C gcd D ) ^ 2 ) e. ZZ )
97	49, 96	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) ^ 2 ) e. ZZ )
98	8, 97	gcdcomd 11929	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M gcd ( ( C gcd D ) ^ 2 ) ) = ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) gcd M ) )
99	49, 8	gcdcld 11923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) e. NN0 )
100	99	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) e. ZZ )
101		gcddvds 11918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C gcd D ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) || ( C gcd D ) /\ ( ( C gcd D ) gcd M ) || M ) )
102	49, 8, 101	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) || ( C gcd D ) /\ ( ( C gcd D ) gcd M ) || M ) )
103	102	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) || ( C gcd D ) )
104	100, 49, 14, 103, 56	dvdstrd 11792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) || C )
105	11, 14	zsubcld 9339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A - C ) e. ZZ )
106	102	simprd 113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) || M )
107	13	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A - C ) / M ) e. ZZ )
108	5	nnne0d 8923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M =/= 0 )
109		dvdsval2 11752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( A - C ) e. ZZ ) -> ( M || ( A - C ) <-> ( ( A - C ) / M ) e. ZZ ) )
110	8, 108, 105, 109	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M || ( A - C ) <-> ( ( A - C ) / M ) e. ZZ ) )
111	107, 110	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M || ( A - C ) )
112	100, 8, 105, 106, 111	dvdstrd 11792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) || ( A - C ) )
113		dvdssub2 11797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( C gcd D ) gcd M ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( ( C gcd D ) gcd M ) || ( A - C ) ) -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) || A <-> ( ( C gcd D ) gcd M ) || C ) )
114	100, 11, 14, 112, 113	syl31anc 1236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) || A <-> ( ( C gcd D ) gcd M ) || C ) )
115	104, 114	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) || A )
116	100, 49, 20, 103, 66	dvdstrd 11792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) || D )
117	17, 20	zsubcld 9339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B - D ) e. ZZ )
118	19	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B - D ) / M ) e. ZZ )
119		dvdsval2 11752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( B - D ) e. ZZ ) -> ( M || ( B - D ) <-> ( ( B - D ) / M ) e. ZZ ) )
120	8, 108, 117, 119	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M || ( B - D ) <-> ( ( B - D ) / M ) e. ZZ ) )
121	118, 120	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M || ( B - D ) )
122	100, 8, 117, 106, 121	dvdstrd 11792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) || ( B - D ) )
123		dvdssub2 11797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( C gcd D ) gcd M ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ ( ( C gcd D ) gcd M ) || ( B - D ) ) -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) || B <-> ( ( C gcd D ) gcd M ) || D ) )
124	100, 17, 20, 122, 123	syl31anc 1236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) || B <-> ( ( C gcd D ) gcd M ) || D ) )
125	116, 124	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) || B )
126		1ne0 8946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 =/= 0
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 =/= 0 )
128	47, 127	eqnetrd 2364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A gcd B ) =/= 0 )
129	128	neneqd 2361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. ( A gcd B ) = 0 )
130		gcdeq0 11932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = 0 <-> ( A = 0 /\ B = 0 ) ) )
131	11, 17, 130	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A gcd B ) = 0 <-> ( A = 0 /\ B = 0 ) ) )
132	129, 131	mtbid 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
133		dvdslegcd 11919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( C gcd D ) gcd M ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( ( ( ( C gcd D ) gcd M ) || A /\ ( ( C gcd D ) gcd M ) || B ) -> ( ( C gcd D ) gcd M ) <_ ( A gcd B ) ) )
134	100, 11, 17, 132, 133	syl31anc 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( C gcd D ) gcd M ) || A /\ ( ( C gcd D ) gcd M ) || B ) -> ( ( C gcd D ) gcd M ) <_ ( A gcd B ) ) )
135	115, 125, 134	mp2and 431	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) <_ ( A gcd B ) )
136	135, 47	breqtrd 4015	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) <_ 1 )
137		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C gcd D ) = 0 /\ M = 0 ) -> M = 0 )
138	137	necon3ai 2389	. . . . . . . . . . 11 |- ( M =/= 0 -> -. ( ( C gcd D ) = 0 /\ M = 0 ) )
139	108, 138	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( ( C gcd D ) = 0 /\ M = 0 ) )
140		gcdn0cl 11917	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C gcd D ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ -. ( ( C gcd D ) = 0 /\ M = 0 ) ) -> ( ( C gcd D ) gcd M ) e. NN )
141	49, 8, 139, 140	syl21anc 1232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) e. NN )
142		nnle1eq1 8902	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C gcd D ) gcd M ) e. NN -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) <_ 1 <-> ( ( C gcd D ) gcd M ) = 1 ) )
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) <_ 1 <-> ( ( C gcd D ) gcd M ) = 1 ) )
144	136, 143	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) gcd M ) = 1 )
145		2nn 9039	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
146	145	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. NN )
147		rplpwr 11982	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C gcd D ) e. NN /\ M e. NN /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) = 1 -> ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) gcd M ) = 1 ) )
148	48, 5, 146, 147	syl3anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) gcd M ) = 1 -> ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) gcd M ) = 1 ) )
149	144, 148	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) gcd M ) = 1 )
150	98, 149	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ph -> ( M gcd ( ( C gcd D ) ^ 2 ) ) = 1 )
151	63, 72	nn0addcld 9192	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
152	151	nn0zd 9332	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
153		coprmdvds 12046	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( C gcd D ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ ( M gcd ( ( C gcd D ) ^ 2 ) ) = 1 ) -> M || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
154	8, 97, 152, 153	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M || ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ ( M gcd ( ( C gcd D ) ^ 2 ) ) = 1 ) -> M || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
155	95, 150, 154	mp2and 431	. . . 4 |- ( ph -> M || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
156		dvdsval2 11752	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. ZZ ) )
157	8, 108, 152, 156	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ph -> ( M || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. ZZ ) )
158	155, 157	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. ZZ )
159	63	nn0red 9189	. . . . 5 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
160	72	nn0red 9189	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. RR )
161	159, 160	readdcld 7949	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR )
162	5	nnred 8891	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
163	1, 45	2sqlem7 13751	. . . . . . 7 |- Y C_ ( S i^i NN )
164		inss2 3348	. . . . . . 7 |- ( S i^i NN ) C_ NN
165	163, 164	sstri 3156	. . . . . 6 |- Y C_ NN
166	61, 70	gcdcld 11923	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E gcd F ) e. NN0 )
167	166	nn0cnd 9190	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E gcd F ) e. CC )
168		1cnd 7936	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
169	75	mulid1d 7937	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) x. 1 ) = ( C gcd D ) )
170	82, 90	oveq12d 5871	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) x. E ) gcd ( ( C gcd D ) x. F ) ) = ( C gcd D ) )
171	14, 20	gcdcld 11923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C gcd D ) e. NN0 )
172		mulgcd 11971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C gcd D ) e. NN0 /\ E e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> ( ( ( C gcd D ) x. E ) gcd ( ( C gcd D ) x. F ) ) = ( ( C gcd D ) x. ( E gcd F ) ) )
173	171, 61, 70, 172	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( C gcd D ) x. E ) gcd ( ( C gcd D ) x. F ) ) = ( ( C gcd D ) x. ( E gcd F ) ) )
174	169, 170, 173	3eqtr2rd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) x. ( E gcd F ) ) = ( ( C gcd D ) x. 1 ) )
175	167, 168, 75, 80, 174	mulcanapad 8581	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E gcd F ) = 1 )
176		eqidd 2171	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
177		oveq1 5860	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = E -> ( x gcd y ) = ( E gcd y ) )
178	177	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . 10 |- ( x = E -> ( ( x gcd y ) = 1 <-> ( E gcd y ) = 1 ) )
179		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = E -> ( x ^ 2 ) = ( E ^ 2 ) )
180	179	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = E -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
181	180	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . 10 |- ( x = E -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
182	178, 181	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( x = E -> ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( ( E gcd y ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
183		oveq2 5861	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = F -> ( E gcd y ) = ( E gcd F ) )
184	183	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . 10 |- ( y = F -> ( ( E gcd y ) = 1 <-> ( E gcd F ) = 1 ) )
185		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = F -> ( y ^ 2 ) = ( F ^ 2 ) )
186	185	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = F -> ( ( E ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
187	186	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . 10 |- ( y = F -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
188	184, 187	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( y = F -> ( ( ( E gcd y ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( ( E gcd F ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) )
189	182, 188	rspc2ev 2849	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ZZ /\ F e. ZZ /\ ( ( E gcd F ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
190	61, 70, 175, 176, 189	syl112anc 1237	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
191		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) -> ( z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
192	191	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) -> ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( ( x gcd y ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
193	192	2rexbidv 2495	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
194	193, 45	elab2g 2877	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. Y <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
195	151, 194	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. Y <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
196	190, 195	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. Y )
197	165, 196	sselid 3145	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN )
198	197	nngt0d 8922	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
199	5	nngt0d 8922	. . . 4 |- ( ph -> 0 < M )
200	161, 162, 198, 199	divgt0d 8851	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) )
201		elnnz 9222	. . 3 |- ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. NN <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) )
202	158, 200, 201	sylanbrc 415	. 2 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. NN )
203		prmnn 12064	. . . . . . . 8 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
204	203	ad2antrl 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> p e. NN )
205	204	nnred 8891	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> p e. RR )
206	158	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. ZZ )
207	206	zred 9334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. RR )
208		peano2zm 9250	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
209	8, 208	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. ZZ )
210	209	zred 9334	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. RR )
211	210	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
212		simprr 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) )
213		prmz 12065	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
214	213	ad2antrl 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> p e. ZZ )
215	202	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. NN )
216		dvdsle 11804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ZZ /\ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. NN ) -> ( p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) -> p <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) )
217	214, 215, 216	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) -> p <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) )
218	212, 217	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> p <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) )
219		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
220	8, 219	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
221	220	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR )
222	221	rehalfcld 9124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
223	16	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. RR )
224	22	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. RR )
225	223, 224	readdcld 7949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. RR )
226		1red 7935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
227	48	nnsqcld 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) ^ 2 ) e. NN )
228	227	nnred 8891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( C gcd D ) ^ 2 ) e. RR )
229	151	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
230	227	nnge1d 8921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 <_ ( ( C gcd D ) ^ 2 ) )
231	226, 228, 161, 229, 230	lemul1ad 8855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( C gcd D ) ^ 2 ) x. ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
232	151	nn0cnd 9190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
233	232	mulid2d 7938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
234	231, 233, 94	3brtr3d 4020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
235	222	rehalfcld 9124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. RR )
236	11, 5, 12	4sqlem7 12336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
237	17, 5, 18	4sqlem7 12336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
238	223, 224, 235, 235, 236, 237	le2addd 8482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
239	222	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
240	239	2halvesd 9123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
241	238, 240	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
242	161, 225, 222, 234, 241	letrd 8043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
243	5	nnsqcld 10630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. NN )
244	243	nnrpd 9651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR+ )
245		rphalflt 9640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M ^ 2 ) e. RR+ -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) < ( M ^ 2 ) )
246	244, 245	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) < ( M ^ 2 ) )
247	161, 222, 221, 242, 246	lelttrd 8044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) < ( M ^ 2 ) )
248	8	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. CC )
249	248	sqvald 10606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
250	247, 249	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) < ( M x. M ) )
251		ltdivmul 8792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR /\ M e. RR /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) < M <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) < ( M x. M ) ) )
252	161, 162, 162, 199, 251	syl112anc 1237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) < M <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) < ( M x. M ) ) )
253	250, 252	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) < M )
254		zltlem1 9269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) < M <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) <_ ( M - 1 ) ) )
255	158, 8, 254	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) < M <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) <_ ( M - 1 ) ) )
256	253, 255	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) <_ ( M - 1 ) )
257	256	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) <_ ( M - 1 ) )
258	205, 207, 211, 218, 257	letrd 8043	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> p <_ ( M - 1 ) )
259	209	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( M - 1 ) e. ZZ )
260		fznn 10045	. . . . . . . 8 |- ( ( M - 1 ) e. ZZ -> ( p e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) <-> ( p e. NN /\ p <_ ( M - 1 ) ) ) )
261	259, 260	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( p e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) <-> ( p e. NN /\ p <_ ( M - 1 ) ) ) )
262	204, 258, 261	mpbir2and 939	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> p e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) )
263	196	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. Y )
264	262, 263	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( p e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. Y ) )
265	46	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> A. b e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
266	152	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
267		dvdsmul2 11776	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) || ( M x. ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) )
268	8, 158, 267	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) || ( M x. ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) )
269	5	nnap0d 8924	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M # 0 )
270	232, 248, 269	divcanap2d 8709	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M x. ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
271	268, 270	breqtrd 4015	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
272	271	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
273	214, 206, 266, 212, 272	dvdstrd 11792	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> p || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
274		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( b = p -> ( b || a <-> p || a ) )
275		eleq1w 2231	. . . . . . 7 |- ( b = p -> ( b e. S <-> p e. S ) )
276	274, 275	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( b = p -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( p || a -> p e. S ) ) )
277		breq2 3993	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) -> ( p || a <-> p || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
278	277	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( a = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) -> ( ( p || a -> p e. S ) <-> ( p || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) -> p e. S ) ) )
279	276, 278	rspc2v 2847	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. Y ) -> ( A. b e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> ( p || ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) -> p e. S ) ) )
280	264, 265, 273, 279	syl3c 63	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. Prime /\ p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) ) -> p e. S )
281	280	expr 373	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) -> p e. S ) )
282	281	ralrimiva 2543	. 2 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) -> p e. S ) )
283		inss1 3347	. . . . 5 |- ( S i^i NN ) C_ S
284	163, 283	sstri 3156	. . . 4 |- Y C_ S
285	284, 196	sselid 3145	. . 3 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. S )
286	270, 285	eqeltrd 2247	. 2 |- ( ph -> ( M x. ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) / M ) ) e. S )
287	1, 5, 202, 282, 286	2sqlem6 13750	1 |- ( ph -> M e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   i^i cin 3120   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   ran crn 4612   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610   ...cfz 9965   mod cmo 10278   ^cexp 10475   abscabs 10961   || cdvds 11749   gcd cgcd 11897   Primecprime 12061   ZZ[_i]cgz 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-gz 12322

This theorem is referenced by:  2sqlem9  13754