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Theorem 2sqlem8 14126
Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem7.2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
2sqlem9.5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
2sqlem9.7  |-  ( ph  ->  M  ||  N )
2sqlem8.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2sqlem8.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2sqlem8.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqlem8.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqlem8.3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
2sqlem8.4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
2sqlem8.c  |-  C  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2sqlem8.d  |-  D  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2sqlem8.e  |-  E  =  ( C  /  ( C  gcd  D ) )
2sqlem8.f  |-  F  =  ( D  /  ( C  gcd  D ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem8  |-  ( ph  ->  M  e.  S )
Distinct variable groups:    a, b, w, x, y, z    A, a, x, y, z    x, C    ph, x, y    B, a, b, x, y    M, a, b, x, y, z    S, a, b, x, y, z    x, D    E, a, x, y, z    x, N, y, z    Y, a, b, x, y    F, a, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, a, b)    A( w, b)    B( z, w)    C( y, z, w, a, b)    D( y, z, w, a, b)    S( w)    E( w, b)    F( w, b)    M( w)    N( w, a, b)    Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem8
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . 2  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2 2sqlem8.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 eluz2b3 9593 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  M  =/=  1 ) )
42, 3sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  M  =/=  1 ) )
54simpld 112 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
6 2sqlem9.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  ||  N )
7 eluzelz 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  ZZ )
82, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 2sqlem8.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
109nnzd 9363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
11 2sqlem8.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
12 2sqlem8.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1311, 5, 124sqlem5 12363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1413simpld 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
15 zsqcl 10576 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
17 2sqlem8.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
18 2sqlem8.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1917, 5, 184sqlem5 12363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ ) )
2019simpld 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
21 zsqcl 10576 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
2316, 22zaddcld 9368 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
24 zsqcl 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
2511, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
2625, 16zsubcld 9369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
27 zsqcl 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
2817, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
2928, 22zsubcld 9369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
3011, 5, 124sqlem8 12366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^
2 ) ) )
3117, 5, 184sqlem8 12366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^
2 ) ) )
328, 26, 29, 30, 31dvds2addd 11820 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
33 2sqlem8.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
3433oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
3525zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
3628zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
3716zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
3822zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
3935, 36, 37, 38addsub4d 8305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
4034, 39eqtrd 2210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
4132, 40breqtrrd 4028 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( N  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
42 dvdssub2 11826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )  /\  M  ||  ( N  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )  ->  ( M  ||  N 
<->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) ) )
438, 10, 23, 41, 42syl31anc 1241 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
446, 43mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
45 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
46 2sqlem9.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
47 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
481, 45, 46, 6, 9, 2, 11, 17, 47, 33, 12, 182sqlem8a 14125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  NN )
4948nnzd 9363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  ZZ )
50 zsqcl2 10583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  ->  (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  e.  NN0 )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  NN0 )
5251nn0cnd 9220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  CC )
53 2sqlem8.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( C  /  ( C  gcd  D ) )
54 gcddvds 11947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D ) )
5514, 20, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D ) )
5655simpld 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  ||  C )
5748nnne0d 8953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  =/=  0 )
58 dvdsval2 11781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  =/=  0  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  D
)  ||  C  <->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
5949, 57, 14, 58syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  <->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6056, 59mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ )
6153, 60eqeltrid 2264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
62 zsqcl2 10583 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e. 
NN0 )
6361, 62syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  NN0 )
6463nn0cnd 9220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
65 2sqlem8.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( D  /  ( C  gcd  D ) )
6655simprd 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  ||  D )
67 dvdsval2 11781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  =/=  0  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  D
)  ||  D  <->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6849, 57, 20, 67syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  D  <->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6966, 68mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ )
7065, 69eqeltrid 2264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
71 zsqcl2 10583 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e. 
NN0 )
7270, 71syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
7372nn0cnd 9220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
7452, 64, 73adddid 7972 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  +  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
7549zcnd 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  CC )
7661zcnd 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
7775, 76sqmuld 10651 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
7853oveq2i 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  gcd  D )  x.  E )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( C  /  ( C  gcd  D ) ) )
7914zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8048nnap0d 8954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
) #  0 )
8179, 75, 80divcanap2d 8738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( C  /  ( C  gcd  D ) ) )  =  C )
8278, 81eqtrid 2222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  E )  =  C )
8382oveq1d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
8477, 83eqtr3d 2212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
8570zcnd 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
8675, 85sqmuld 10651 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )
8765oveq2i 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  gcd  D )  x.  F )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( D  /  ( C  gcd  D ) ) )
8820zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
8988, 75, 80divcanap2d 8738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( D  /  ( C  gcd  D ) ) )  =  D )
9087, 89eqtrid 2222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  F )  =  D )
9190oveq1d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  F ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
9286, 91eqtr3d 2212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( D ^
2 ) )
9384, 92oveq12d 5887 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
9474, 93eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
9544, 94breqtrrd 4028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
96 zsqcl 10576 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  ->  (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  e.  ZZ )
9749, 96syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ )
988, 97gcdcomd 11958 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  gcd  M ) )
9949, 8gcdcld 11952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN0 )
10099nn0zd 9362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ )
101 gcddvds 11947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M ) )
10249, 8, 101syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M ) )
103102simpld 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( C  gcd  D ) )
104100, 49, 14, 103, 56dvdstrd 11821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  C )
10511, 14zsubcld 9369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  e.  ZZ )
106102simprd 114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M )
10713simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ )
1085nnne0d 8953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
109 dvdsval2 11781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( A  -  C )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( A  -  C )  <->  ( ( A  -  C )  /  M )  e.  ZZ ) )
1108, 108, 105, 109syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( A  -  C )  <->  ( ( A  -  C
)  /  M )  e.  ZZ ) )
111107, 110mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  ||  ( A  -  C ) )
112100, 8, 105, 106, 111dvdstrd 11821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( A  -  C ) )
113 dvdssub2 11826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( A  -  C ) )  -> 
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  A  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  C ) )
114100, 11, 14, 112, 113syl31anc 1241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  A  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  C ) )
115104, 114mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  A )
116100, 49, 20, 103, 66dvdstrd 11821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  D )
11717, 20zsubcld 9369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  -  D
)  e.  ZZ )
11819simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ )
119 dvdsval2 11781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( B  -  D )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( B  -  D )  <->  ( ( B  -  D )  /  M )  e.  ZZ ) )
1208, 108, 117, 119syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( B  -  D )  <->  ( ( B  -  D
)  /  M )  e.  ZZ ) )
121118, 120mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  ||  ( B  -  D ) )
122100, 8, 117, 106, 121dvdstrd 11821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( B  -  D ) )
123 dvdssub2 11826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( B  -  D ) )  -> 
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  D ) )
124100, 17, 20, 122, 123syl31anc 1241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  D ) )
125116, 124mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  B )
126 1ne0 8976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =/=  0
127126a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
12847, 127eqnetrd 2371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =/=  0 )
129128neneqd 2368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( A  gcd  B )  =  0 )
130 gcdeq0 11961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  0  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
13111, 17, 130syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  =  0  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
132129, 131mtbid 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
133 dvdslegcd 11948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  A  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  ( A  gcd  B ) ) )
134100, 11, 17, 132, 133syl31anc 1241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  A  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  ( A  gcd  B ) ) )
135115, 125, 134mp2and 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  <_  ( A  gcd  B ) )
136135, 47breqtrd 4026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  <_  1 )
137 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
138137necon3ai 2396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )
139108, 138syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )
140 gcdn0cl 11946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )  -> 
( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN )
14149, 8, 139, 140syl21anc 1237 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN )
142 nnle1eq1 8932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  e.  NN  ->  ( (
( C  gcd  D
)  gcd  M )  <_  1  <->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  =  1 ) )
143141, 142syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  1  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  =  1 ) )
144136, 143mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  =  1 )
145 2nn 9069 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
146145a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
147 rplpwr 12011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  (
( ( C  gcd  D )  gcd  M )  =  1  ->  (
( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  gcd  M )  =  1 ) )
14848, 5, 146, 147syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  =  1  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  gcd 
M )  =  1 ) )
149144, 148mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  gcd  M
)  =  1 )
15098, 149eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  1 )
15163, 72nn0addcld 9222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0 )
152151nn0zd 9362 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
153 coprmdvds 12075 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  ( M  gcd  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )  =  1 )  ->  M  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
1548, 97, 152, 153syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  ( M  gcd  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )  =  1 )  ->  M  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
15595, 150, 154mp2and 433 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
156 dvdsval2 11781 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1578, 108, 152, 156syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
158155, 157mpbid 147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ )
15963nn0red 9219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
16072nn0red 9219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
161159, 160readdcld 7977 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
1625nnred 8921 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1631, 452sqlem7 14124 . . . . . . 7  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
164 inss2 3356 . . . . . . 7  |-  ( S  i^i  NN )  C_  NN
165163, 164sstri 3164 . . . . . 6  |-  Y  C_  NN
16661, 70gcdcld 11952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  e.  NN0 )
167166nn0cnd 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  e.  CC )
168 1cnd 7964 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
16975mulid1d 7965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  1 )  =  ( C  gcd  D ) )
17082, 90oveq12d 5887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  (
( C  gcd  D
)  x.  F ) )  =  ( C  gcd  D ) )
17114, 20gcdcld 11952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  NN0 )
172 mulgcd 12000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  NN0  /\  E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  (
( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  ( ( C  gcd  D )  x.  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) ) )
173171, 61, 70, 172syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  (
( C  gcd  D
)  x.  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) ) )
174169, 170, 1733eqtr2rd 2217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  1 ) )
175167, 168, 75, 80, 174mulcanapad 8609 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  =  1 )
176 eqidd 2178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
177 oveq1 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
x  gcd  y )  =  ( E  gcd  y ) )
178177eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  gcd  y
)  =  1  <->  ( E  gcd  y )  =  1 ) )
179 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  E  ->  (
x ^ 2 )  =  ( E ^
2 ) )
180179oveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
181180eqeq2d 2189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
182178, 181anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( E  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
183 oveq2 5877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  ( E  gcd  y )  =  ( E  gcd  F
) )
184183eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( E  gcd  y
)  =  1  <->  ( E  gcd  F )  =  1 ) )
185 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  F  ->  (
y ^ 2 )  =  ( F ^
2 ) )
186185oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
187186eqeq2d 2189 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
188184, 187anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( E  gcd  F )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
189182, 188rspc2ev 2856 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ  /\  (
( E  gcd  F
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
19061, 70, 175, 176, 189syl112anc 1242 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) )
191 eqeq1 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
192191anbi2d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
1931922rexbidv 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) ) )
194193, 45elab2g 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
195151, 194syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) ) )
196190, 195mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )
197165, 196sselid 3153 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN )
198197nngt0d 8952 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
1995nngt0d 8952 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  M )
200161, 162, 198, 199divgt0d 8881 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )
201 elnnz 9252 . . 3  |-  ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  NN  <->  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) ) )
202158, 200, 201sylanbrc 417 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  NN )
203 prmnn 12093 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
204203ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  NN )
205204nnred 8921 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  RR )
206158adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  ZZ )
207206zred 9364 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  RR )
208 peano2zm 9280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
2098, 208syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
210209zred 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
211210adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
212 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) )
213 prmz 12094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
214213ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  ZZ )
215202adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  NN )
216 dvdsle 11833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  NN )  ->  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ->  p  <_  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )
217214, 215, 216syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  ||  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  ->  p  <_  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M ) ) )
218212, 217mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  <_  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) )
219 zsqcl 10576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
2208, 219syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
221220zred 9364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR )
222221rehalfcld 9154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
22316zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
22422zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  RR )
225223, 224readdcld 7977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  RR )
226 1red 7963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
22748nnsqcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  NN )
228227nnred 8921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  RR )
229151nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
230227nnge1d 8951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  <_  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )
231226, 228, 161, 229, 230lemul1ad 8885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  <_  ( (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
232151nn0cnd 9220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
233232mulid2d 7966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
234231, 233, 943brtr3d 4031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
235222rehalfcld 9154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  RR )
23611, 5, 124sqlem7 12365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
23717, 5, 184sqlem7 12365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
238223, 224, 235, 235, 236, 237le2addd 8510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
239222recnd 7976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
2402392halvesd 9153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )
241238, 240breqtrd 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
242161, 225, 222, 234, 241letrd 8071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
2435nnsqcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
244243nnrpd 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR+ )
245 rphalflt 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( M ^ 2 )  /  2 )  < 
( M ^ 2 ) )
246244, 245syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  <  ( M ^ 2 ) )
247161, 222, 221, 242, 246lelttrd 8072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M ^ 2 ) )
2488zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
249248sqvald 10636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
250247, 249breqtrd 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) )
251 ltdivmul 8822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  -> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) ) )
252161, 162, 162, 199, 251syl112anc 1242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) ) )
253250, 252mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  <  M )
254 zltlem1 9299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) ) )
255158, 8, 254syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) ) )
256253, 255mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  <_  ( M  -  1 ) )
257256adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) )
258205, 207, 211, 218, 257letrd 8071 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  <_  ( M  -  1 ) )
259209adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
260 fznn 10075 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_ 
( M  -  1 ) ) ) )
261259, 260syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_ 
( M  -  1 ) ) ) )
262204, 258, 261mpbir2and 944 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )
263196adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )
264262, 263jca 306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y ) )
26546adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) )
266152adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
267 dvdsmul2 11805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  ||  ( M  x.  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )
2688, 158, 267syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ||  ( M  x.  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) ) )
2695nnap0d 8954 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M #  0 )
270232, 248, 269divcanap2d 8738 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
271268, 270breqtrd 4026 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
272271adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) 
||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
273214, 206, 266, 212, 272dvdstrd 11821 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
274 breq1 4003 . . . . . . 7  |-  ( b  =  p  ->  (
b  ||  a  <->  p  ||  a
) )
275 eleq1w 2238 . . . . . . 7  |-  ( b  =  p  ->  (
b  e.  S  <->  p  e.  S ) )
276274, 275imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( b  =  p  ->  (
( b  ||  a  ->  b  e.  S )  <-> 
( p  ||  a  ->  p  e.  S ) ) )
277 breq2 4004 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
p  ||  a  <->  p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
278277imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
( p  ||  a  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  p  e.  S
) ) )
279276, 278rspc2v 2854 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )  ->  ( A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
)  ->  ( p  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  p  e.  S ) ) )
280264, 265, 273, 279syl3c 63 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  S )
281280expr 375 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ->  p  e.  S ) )
282281ralrimiva 2550 . 2  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  ->  p  e.  S )
)
283 inss1 3355 . . . . 5  |-  ( S  i^i  NN )  C_  S
284163, 283sstri 3164 . . . 4  |-  Y  C_  S
285284, 196sselid 3153 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  S )
286270, 285eqeltrd 2254 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )  e.  S )
2871, 5, 202, 282, 2862sqlem6 14123 1  |-  ( ph  ->  M  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456    i^i cin 3128   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   ran crn 4624   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803    + caddc 7805    x. cmul 7807    < clt 7982    <_ cle 7983    - cmin 8118    / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   RR+crp 9640   ...cfz 9995    mod cmo 10308   ^cexp 10505   abscabs 10990    || cdvds 11778    gcd cgcd 11926   Primecprime 12090   ZZ[_i]cgz 12350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-gz 12351
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