ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lesubadd2i Unicode version

Theorem lesubadd2i 8439
Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 3-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1  |-  A  e.  RR
lt2.2  |-  B  e.  RR
lt2.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lesubadd2i  |-  ( ( A  -  B )  <_  C  <->  A  <_  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem lesubadd2i
StepHypRef Expression
1 lt2.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt2.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt2.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lesubadd2 8366 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( B  +  C ) ) )
51, 2, 3, 4mp3an 1337 1  |-  ( ( A  -  B )  <_  C  <->  A  <_  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105    e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   RRcr 7785    + caddc 7789    <_ cle 7967    - cmin 8102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator