Theorem lspid 13586

Description: The span of a subspace is itself. (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspid.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspid.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspid	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = U )

Proof of Theorem lspid

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2187	. . . 4 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		lspid.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssssg 13549	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
4		lspid.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
5	1, 2, 4	lspval 13579	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ ( Base ` W ) ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. S | U C_ t } )
6	3, 5	syldan 282	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. S | U C_ t } )
7		intmin 3876	. . 3 |- ( U e. S -> |^| { t e. S | U C_ t } = U )
8	7	adantl 277	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> |^| { t e. S | U C_ t } = U )
9	6, 8	eqtrd 2220	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   {crab 2469   C_ wss 3141   |^|cint 3856   ` cfv 5228   Basecbs 12476   LModclmod 13476   LSubSpclss 13541   LSpanclspn 13575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1re 7919  ax-addrcl 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-sca 12567  df-vsca 12568  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-lmod 13478  df-lssm 13542  df-lsp 13576

This theorem is referenced by:  lspidm  13590  lspssp  13592  lspsn0  13611