Theorem lspid 14706

Description: The span of a subspace is itself. (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspid.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspid.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspid	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = U )

Proof of Theorem lspid

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		lspid.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssssg 14669	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
4		lspid.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
5	1, 2, 4	lspval 14699	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ ( Base ` W ) ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. S | U C_ t } )
6	3, 5	syldan 282	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. S | U C_ t } )
7		intmin 3985	. . 3 |- ( U e. S -> |^| { t e. S | U C_ t } = U )
8	7	adantl 277	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> |^| { t e. S | U C_ t } = U )
9	6, 8	eqtrd 2271	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   |^|cint 3965   ` cfv 5372   Basecbs 13330   LModclmod 14596   LSubSpclss 14661   LSpanclspn 14695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696

This theorem is referenced by:  lspidm  14710  lspssp  14712  lspsn0  14731