Theorem lspid 14657

Description: The span of a subspace is itself. (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspid.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspid.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lspid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lspid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssssg 14620	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lspid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	1, 2, 4	lspval 14650	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	3, 5	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
7		intmin 3974	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} = 𝑈)
8	7	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} = 𝑈)
9	6, 8	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   ⊆ wss 3214  ∩ cint 3954  ‘cfv 5357  Basecbs 13296  LModclmod 14547  LSubSpclss 14612  LSpanclspn 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-lmod 14549  df-lssm 14613  df-lsp 14647

This theorem is referenced by:  lspidm  14661  lspssp  14663  lspsn0  14682