Theorem lssssg 13916

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssssg	|- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> U C_ V )

Proof of Theorem lssssg

Dummy variables a b j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3		lssss.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		eqid 2196	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
6		lssss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 13914	. . 3 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. a e. U A. b e. U ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. U ) ) )
8	7	biimpa 296	. 2 |- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. a e. U A. b e. U ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. U ) )
9	8	simp1d 1011	1 |- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> U C_ V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   LSubSpclss 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-lssm 13909

This theorem is referenced by:  lsselg  13917  lssuni  13919  lsssubg  13933  islss3  13935  lsslss  13937  lssintclm  13940  lspid  13953  lspssv  13954  lspssp  13959  lsslsp  13985  lidlss  14032