Theorem lssssg 13701

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssssg	|- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> U C_ V )

Proof of Theorem lssssg

Dummy variables a b j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3		lssss.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		eqid 2189	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		eqid 2189	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
6		lssss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 13699	. . 3 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. a e. U A. b e. U ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. U ) ) )
8	7	biimpa 296	. 2 |- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. a e. U A. b e. U ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. U ) )
9	8	simp1d 1011	1 |- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> U C_ V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   C_ wss 3144   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   Basecbs 12523   +g cplusg 12600  Scalarcsca 12603   .scvsca 12604   LSubSpclss 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-fv 5246  df-ov 5903  df-inn 8955  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-lssm 13694

This theorem is referenced by:  lsselg  13702  lssuni  13704  lsssubg  13718  islss3  13720  lsslss  13722  lssintclm  13725  lspid  13738  lspssv  13739  lspssp  13744  lsslsp  13770  lidlss  13817