Theorem lssssg 14122

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssssg	|- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> U C_ V )

Proof of Theorem lssssg

Dummy variables a b j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2205	. . . 4 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3		lssss.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		eqid 2205	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		eqid 2205	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
6		lssss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 14120	. . 3 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. a e. U A. b e. U ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. U ) ) )
8	7	biimpa 296	. 2 |- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. a e. U A. b e. U ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. U ) )
9	8	simp1d 1012	1 |- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> U C_ V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   C_ wss 3166   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909  Scalarcsca 12912   .scvsca 12913   LSubSpclss 14114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-lssm 14115

This theorem is referenced by:  lsselg  14123  lssuni  14125  lsssubg  14139  islss3  14141  lsslss  14143  lssintclm  14146  lspid  14159  lspssv  14160  lspssp  14165  lsslsp  14191  lidlss  14238