Theorem lssssg 14237

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssssg	|- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> U C_ V )

Proof of Theorem lssssg

Dummy variables a b j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2207	. . . 4 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3		lssss.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		eqid 2207	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		eqid 2207	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
6		lssss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 14235	. . 3 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. a e. U A. b e. U ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. U ) ) )
8	7	biimpa 296	. 2 |- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. a e. U A. b e. U ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. U ) )
9	8	simp1d 1012	1 |- ( ( W e. X /\ U e. S ) -> U C_ V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   C_ wss 3174   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024  Scalarcsca 13027   .scvsca 13028   LSubSpclss 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-lssm 14230

This theorem is referenced by:  lsselg  14238  lssuni  14240  lsssubg  14254  islss3  14256  lsslss  14258  lssintclm  14261  lspid  14274  lspssv  14275  lspssp  14280  lsslsp  14306  lidlss  14353