Theorem lspval 13886

Description: The span of a set of vectors (in a left module). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspval	|- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. S | U C_ t } )

Distinct variable groups:   t, S   t, U   t, V

Allowed substitution hints:   N( t)   W( t)

Proof of Theorem lspval

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
2		lspval.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspval.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 13884	. . . 4 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { t e. S | s C_ t } ) )
5	4	fveq1d 5556	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( N ` U ) = ( ( s e. ~P V |-> |^| { t e. S | s C_ t } ) ` U ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) = ( ( s e. ~P V |-> |^| { t e. S | s C_ t } ) ` U ) )
7		eqid 2193	. . 3 |- ( s e. ~P V |-> |^| { t e. S | s C_ t } ) = ( s e. ~P V |-> |^| { t e. S | s C_ t } )
8		sseq1 3202	. . . . 5 |- ( s = U -> ( s C_ t <-> U C_ t ) )
9	8	rabbidv 2749	. . . 4 |- ( s = U -> { t e. S | s C_ t } = { t e. S | U C_ t } )
10	9	inteqd 3875	. . 3 |- ( s = U -> |^| { t e. S | s C_ t } = |^| { t e. S | U C_ t } )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ V )
12		basfn 12676	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
13		elex 2771	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> W e. _V )
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> W e. _V )
15		funfvex 5571	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
16	15	funfni 5354	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
17	12, 14, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
18	1, 17	eqeltrid 2280	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> V e. _V )
19		elpw2g 4185	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
21	11, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U e. ~P V )
22	1, 2	lss1 13858	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> V e. S )
23		sseq2 3203	. . . . . 6 |- ( t = V -> ( U C_ t <-> U C_ V ) )
24	23	rspcev 2864	. . . . 5 |- ( ( V e. S /\ U C_ V ) -> E. t e. S U C_ t )
25	22, 24	sylan 283	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> E. t e. S U C_ t )
26		intexrabim 4182	. . . 4 |- ( E. t e. S U C_ t -> |^| { t e. S | U C_ t } e. _V )
27	25, 26	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> |^| { t e. S | U C_ t } e. _V )
28	7, 10, 21, 27	fvmptd3 5651	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( ( s e. ~P V |-> |^| { t e. S | s C_ t } ) ` U ) = |^| { t e. S | U C_ t } )
29	6, 28	eqtrd 2226	1 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. S | U C_ t } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   {crab 2476   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   |^|cint 3870   |-> cmpt 4090   Fn wfn 5249   ` cfv 5254   Basecbs 12618   LModclmod 13783   LSubSpclss 13848   LSpanclspn 13882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883

This theorem is referenced by:  lspid  13893  lspss  13895  lspssid  13896