Theorem lspsnel5 14683

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnel5.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnel5.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel5.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel5.a	|- ( ph -> U e. S )
lspsnel5.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5	|- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )

Proof of Theorem lspsnel5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		lspsnel5.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lspsnel5.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		lspsnel5.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
5		lspsnel5.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
6		lspsnel5.a	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
7	2, 3, 4, 5, 6	lspsnel6 14682	. 2 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )
8	1, 7	mpbirand 441	1 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   {csn 3694   ` cfv 5357   Basecbs 13296   LModclmod 14561   LSubSpclss 14626   LSpanclspn 14660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-lmod 14563  df-lssm 14627  df-lsp 14661

This theorem is referenced by:  lspsnel5a  14684  lspprid1  14685  lspsnss2  14693