Theorem lspsnel5 14286

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnel5.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnel5.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel5.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel5.a	|- ( ph -> U e. S )
lspsnel5.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5	|- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )

Proof of Theorem lspsnel5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		lspsnel5.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lspsnel5.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		lspsnel5.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
5		lspsnel5.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
6		lspsnel5.a	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
7	2, 3, 4, 5, 6	lspsnel6 14285	. 2 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )
8	1, 7	mpbirand 441	1 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   {csn 3643   ` cfv 5290   Basecbs 12947   LModclmod 14164   LSubSpclss 14229   LSpanclspn 14263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-lmod 14166  df-lssm 14230  df-lsp 14264

This theorem is referenced by:  lspsnel5a  14287  lspprid1  14288  lspsnss2  14296