Theorem lspsnel5a 14114

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5a.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnel5a.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel5a.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel5a.a	|- ( ph -> U e. S )
lspsnel5a.x	|- ( ph -> X e. U )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5a	|- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ U )

Proof of Theorem lspsnel5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5a.x	. 2 |- ( ph -> X e. U )
2		eqid 2204	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		lspsnel5a.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		lspsnel5a.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
5		lspsnel5a.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
6		lspsnel5a.a	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
7	2, 3	lsselg 14065	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
8	5, 6, 1, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` W ) )
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	lspsnel5 14113	. 2 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )
10	1, 9	mpbid 147	1 |- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ U )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   C_ wss 3165   {csn 3632   ` cfv 5270   Basecbs 12774   LModclmod 13991   LSubSpclss 14056   LSpanclspn 14090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-sca 12867  df-vsca 12868  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-lmod 13993  df-lssm 14057  df-lsp 14091

This theorem is referenced by:  lssats2  14118  lspsn  14120  lspsnvsi  14122