Theorem lspsnel5a 14414

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5a.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnel5a.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel5a.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel5a.a	|- ( ph -> U e. S )
lspsnel5a.x	|- ( ph -> X e. U )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5a	|- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ U )

Proof of Theorem lspsnel5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5a.x	. 2 |- ( ph -> X e. U )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		lspsnel5a.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		lspsnel5a.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
5		lspsnel5a.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
6		lspsnel5a.a	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
7	2, 3	lsselg 14365	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
8	5, 6, 1, 7	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` W ) )
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	lspsnel5 14413	. 2 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )
10	1, 9	mpbid 147	1 |- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ U )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   {csn 3667   ` cfv 5324   Basecbs 13072   LModclmod 14291   LSubSpclss 14356   LSpanclspn 14390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-sca 13166  df-vsca 13167  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-lmod 14293  df-lssm 14357  df-lsp 14391

This theorem is referenced by:  lssats2  14418  lspsn  14420  lspsnvsi  14422