Theorem lspsnel6 13964

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnel5.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnel5.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel5.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel5.a	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel6	|- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Proof of Theorem lspsnel6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> W e. LMod )
3		lspsnel5.a	. . . . 5 |- ( ph -> U e. S )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> U e. S )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. U )
6		lspsnel5.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
7		lspsnel5.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
8	6, 7	lsselg 13917	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
9	2, 4, 5, 8	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. V )
10		lspsnel5.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
11	7, 10	lspsnss 13960	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
12	2, 4, 5, 11	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
13	9, 12	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) )
14	6, 10	lspsnid 13963	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
15	1, 14	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
16		ssel 3177	. . . 4 |- ( ( N ` { X } ) C_ U -> ( X e. ( N ` { X } ) -> X e. U ) )
17	15, 16	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) C_ U -> X e. U ) )
18	17	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) -> X e. U )
19	13, 18	impbida 596	1 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   {csn 3622   ` cfv 5258   Basecbs 12678   LModclmod 13843   LSubSpclss 13908   LSpanclspn 13942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943

This theorem is referenced by:  lspsnel5  13965