Theorem lspsnel6 14170

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnel5.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnel5.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel5.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel5.a	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel6	|- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Proof of Theorem lspsnel6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> W e. LMod )
3		lspsnel5.a	. . . . 5 |- ( ph -> U e. S )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> U e. S )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. U )
6		lspsnel5.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
7		lspsnel5.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
8	6, 7	lsselg 14123	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
9	2, 4, 5, 8	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. V )
10		lspsnel5.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
11	7, 10	lspsnss 14166	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
12	2, 4, 5, 11	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
13	9, 12	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) )
14	6, 10	lspsnid 14169	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
15	1, 14	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
16		ssel 3187	. . . 4 |- ( ( N ` { X } ) C_ U -> ( X e. ( N ` { X } ) -> X e. U ) )
17	15, 16	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) C_ U -> X e. U ) )
18	17	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) -> X e. U )
19	13, 18	impbida 596	1 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   {csn 3633   ` cfv 5271   Basecbs 12832   LModclmod 14049   LSubSpclss 14114   LSpanclspn 14148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-lmod 14051  df-lssm 14115  df-lsp 14149

This theorem is referenced by:  lspsnel5  14171