Theorem lspsnel6 13904

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnel5.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnel5.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel5.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel5.a	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel6	|- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Proof of Theorem lspsnel6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> W e. LMod )
3		lspsnel5.a	. . . . 5 |- ( ph -> U e. S )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> U e. S )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. U )
6		lspsnel5.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
7		lspsnel5.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
8	6, 7	lsselg 13857	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
9	2, 4, 5, 8	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. V )
10		lspsnel5.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
11	7, 10	lspsnss 13900	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
12	2, 4, 5, 11	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
13	9, 12	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) )
14	6, 10	lspsnid 13903	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
15	1, 14	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
16		ssel 3173	. . . 4 |- ( ( N ` { X } ) C_ U -> ( X e. ( N ` { X } ) -> X e. U ) )
17	15, 16	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) C_ U -> X e. U ) )
18	17	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) -> X e. U )
19	13, 18	impbida 596	1 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   {csn 3618   ` cfv 5254   Basecbs 12618   LModclmod 13783   LSubSpclss 13848   LSpanclspn 13882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883

This theorem is referenced by:  lspsnel5  13905