Theorem lspsnel6 14504

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnel5.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnel5.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel5.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel5.a	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel6	|- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Proof of Theorem lspsnel6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> W e. LMod )
3		lspsnel5.a	. . . . 5 |- ( ph -> U e. S )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> U e. S )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. U )
6		lspsnel5.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
7		lspsnel5.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
8	6, 7	lsselg 14457	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
9	2, 4, 5, 8	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. V )
10		lspsnel5.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
11	7, 10	lspsnss 14500	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
12	2, 4, 5, 11	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
13	9, 12	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) )
14	6, 10	lspsnid 14503	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
15	1, 14	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
16		ssel 3222	. . . 4 |- ( ( N ` { X } ) C_ U -> ( X e. ( N ` { X } ) -> X e. U ) )
17	15, 16	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) C_ U -> X e. U ) )
18	17	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) -> X e. U )
19	13, 18	impbida 600	1 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   C_ wss 3201   {csn 3673   ` cfv 5333   Basecbs 13162   LModclmod 14383   LSubSpclss 14448   LSpanclspn 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-sca 13256  df-vsca 13257  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-lmod 14385  df-lssm 14449  df-lsp 14483

This theorem is referenced by:  lspsnel5  14505