Theorem lspsnel6 13685

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnel5.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsnel5.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnel5.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnel5.a	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel6	|- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Proof of Theorem lspsnel6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> W e. LMod )
3		lspsnel5.a	. . . . 5 |- ( ph -> U e. S )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> U e. S )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. U )
6		lspsnel5.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
7		lspsnel5.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
8	6, 7	lsselg 13638	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
9	2, 4, 5, 8	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> X e. V )
10		lspsnel5.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
11	7, 10	lspsnss 13681	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
12	2, 4, 5, 11	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
13	9, 12	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ X e. U ) -> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) )
14	6, 10	lspsnid 13684	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
15	1, 14	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
16		ssel 3164	. . . 4 |- ( ( N ` { X } ) C_ U -> ( X e. ( N ` { X } ) -> X e. U ) )
17	15, 16	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) C_ U -> X e. U ) )
18	17	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) -> X e. U )
19	13, 18	impbida 596	1 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   {csn 3607   ` cfv 5231   Basecbs 12480   LModclmod 13564   LSubSpclss 13629   LSpanclspn 13663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-sca 12571  df-vsca 12572  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-lmod 13566  df-lssm 13630  df-lsp 13664

This theorem is referenced by:  lspsnel5  13686