Theorem lssats2 13727

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssats2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lssats2.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssats2.u	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lssats2	|- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   W( x)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. U )
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> W e. LMod )
4		lssats2.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. S )
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> U e. S )
6		eqid 2189	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
7		lssats2.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( LSubSp ` W )
8	6, 7	lsselg 13674	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
9	3, 5, 1, 8	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
10		lssats2.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
11	6, 10	lspsnid 13720	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` W ) ) -> y e. ( N ` { y } ) )
12	3, 9, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( N ` { y } ) )
13		sneq 3618	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> { x } = { y } )
14	13	fveq2d 5538	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( N ` { x } ) = ( N ` { y } ) )
15	14	eleq2d 2259	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( y e. ( N ` { x } ) <-> y e. ( N ` { y } ) ) )
16	15	rspcev 2856	. . . . . 6 |- ( ( y e. U /\ y e. ( N ` { y } ) ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
17	1, 12, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. U -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
19	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> W e. LMod )
20	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> U e. S )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. U )
22	7, 10, 19, 20, 21	lspsnel5a 13723	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( N ` { x } ) C_ U )
23	22	sseld 3169	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
24	23	rexlimdva 2607	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. U y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
25	18, 24	impbid 129	. . 3 |- ( ph -> ( y e. U <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
26		eliun 3905	. . 3 |- ( y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
27	25, 26	bitr4di 198	. 2 |- ( ph -> ( y e. U <-> y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) ) )
28	27	eqrdv 2187	1 |- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   {csn 3607   U_ciun 3901   ` cfv 5235   Basecbs 12511   LModclmod 13600   LSubSpclss 13665   LSpanclspn 13699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-0g 12760  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-grp 12945  df-lmod 13602  df-lssm 13666  df-lsp 13700

This theorem is referenced by: (None)