Theorem lssats2 14337

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssats2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lssats2.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssats2.u	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lssats2	|- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   W( x)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. U )
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> W e. LMod )
4		lssats2.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. S )
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> U e. S )
6		eqid 2207	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
7		lssats2.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( LSubSp ` W )
8	6, 7	lsselg 14284	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
9	3, 5, 1, 8	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
10		lssats2.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
11	6, 10	lspsnid 14330	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` W ) ) -> y e. ( N ` { y } ) )
12	3, 9, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( N ` { y } ) )
13		sneq 3655	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> { x } = { y } )
14	13	fveq2d 5604	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( N ` { x } ) = ( N ` { y } ) )
15	14	eleq2d 2277	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( y e. ( N ` { x } ) <-> y e. ( N ` { y } ) ) )
16	15	rspcev 2885	. . . . . 6 |- ( ( y e. U /\ y e. ( N ` { y } ) ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
17	1, 12, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. U -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
19	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> W e. LMod )
20	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> U e. S )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. U )
22	7, 10, 19, 20, 21	lspsnel5a 14333	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( N ` { x } ) C_ U )
23	22	sseld 3201	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
24	23	rexlimdva 2626	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. U y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
25	18, 24	impbid 129	. . 3 |- ( ph -> ( y e. U <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
26		eliun 3946	. . 3 |- ( y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
27	25, 26	bitr4di 198	. 2 |- ( ph -> ( y e. U <-> y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) ) )
28	27	eqrdv 2205	1 |- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   {csn 3644   U_ciun 3942   ` cfv 5291   Basecbs 12993   LModclmod 14210   LSubSpclss 14275   LSpanclspn 14309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1re 8056  ax-addrcl 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-plusg 13083  df-mulr 13084  df-sca 13086  df-vsca 13087  df-0g 13251  df-mgm 13349  df-sgrp 13395  df-mnd 13410  df-grp 13496  df-lmod 14212  df-lssm 14276  df-lsp 14310

This theorem is referenced by: (None)