Theorem lssats2 14723

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssats2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lssats2.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssats2.u	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lssats2	|- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   W( x)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. U )
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> W e. LMod )
4		lssats2.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. S )
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> U e. S )
6		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
7		lssats2.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( LSubSp ` W )
8	6, 7	lsselg 14670	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
9	3, 5, 1, 8	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
10		lssats2.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
11	6, 10	lspsnid 14716	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` W ) ) -> y e. ( N ` { y } ) )
12	3, 9, 11	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( N ` { y } ) )
13		sneq 3716	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> { x } = { y } )
14	13	fveq2d 5694	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( N ` { x } ) = ( N ` { y } ) )
15	14	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( y e. ( N ` { x } ) <-> y e. ( N ` { y } ) ) )
16	15	rspcev 2929	. . . . . 6 |- ( ( y e. U /\ y e. ( N ` { y } ) ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
17	1, 12, 16	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. U -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
19	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> W e. LMod )
20	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> U e. S )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. U )
22	7, 10, 19, 20, 21	lspsnel5a 14719	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( N ` { x } ) C_ U )
23	22	sseld 3247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
24	23	rexlimdva 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. U y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
25	18, 24	impbid 129	. . 3 |- ( ph -> ( y e. U <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
26		eliun 4011	. . 3 |- ( y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
27	25, 26	bitr4di 198	. 2 |- ( ph -> ( y e. U <-> y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) ) )
28	27	eqrdv 2236	1 |- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   {csn 3705   U_ciun 4007   ` cfv 5372   Basecbs 13330   LModclmod 14596   LSubSpclss 14661   LSpanclspn 14695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696

This theorem is referenced by: (None)