Theorem lssats2 14688

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssats2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lssats2.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssats2.u	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lssats2	|- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   W( x)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. U )
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> W e. LMod )
4		lssats2.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. S )
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> U e. S )
6		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
7		lssats2.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( LSubSp ` W )
8	6, 7	lsselg 14635	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
9	3, 5, 1, 8	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
10		lssats2.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
11	6, 10	lspsnid 14681	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` W ) ) -> y e. ( N ` { y } ) )
12	3, 9, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( N ` { y } ) )
13		sneq 3705	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> { x } = { y } )
14	13	fveq2d 5679	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( N ` { x } ) = ( N ` { y } ) )
15	14	eleq2d 2304	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( y e. ( N ` { x } ) <-> y e. ( N ` { y } ) ) )
16	15	rspcev 2923	. . . . . 6 |- ( ( y e. U /\ y e. ( N ` { y } ) ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
17	1, 12, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. U -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
19	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> W e. LMod )
20	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> U e. S )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. U )
22	7, 10, 19, 20, 21	lspsnel5a 14684	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( N ` { x } ) C_ U )
23	22	sseld 3241	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
24	23	rexlimdva 2662	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. U y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
25	18, 24	impbid 129	. . 3 |- ( ph -> ( y e. U <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
26		eliun 4000	. . 3 |- ( y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
27	25, 26	bitr4di 198	. 2 |- ( ph -> ( y e. U <-> y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) ) )
28	27	eqrdv 2232	1 |- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   {csn 3694   U_ciun 3996   ` cfv 5357   Basecbs 13296   LModclmod 14561   LSubSpclss 14626   LSpanclspn 14660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-lmod 14563  df-lssm 14627  df-lsp 14661

This theorem is referenced by: (None)