Theorem lspsn 13749

Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsn	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )

Distinct variable groups:   k, F   v, k, K   k, N, v   k, V, v   k, W, v   .x. , k, v   k, X, v

Allowed substitution hint:   F( v)

Proof of Theorem lspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		lspsn.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
4		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
5		lspsn.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
6		lspsn.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
7		lspsn.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
8	4, 5, 6, 7, 1	lss1d 13716	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } e. ( LSubSp ` W ) )
9		eqid 2189	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
10	5, 7, 9	lmod1cl 13648	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` F ) e. K )
11	4, 5, 6, 9	lmodvs1 13649	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
12	11	eqcomd 2195	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
13		oveq1 5904	. . . . . 6 |- ( k = ( 1r ` F ) -> ( k .x. X ) = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
14	13	rspceeqv 2874	. . . . 5 |- ( ( ( 1r ` F ) e. K /\ X = ( ( 1r ` F ) .x. X ) ) -> E. k e. K X = ( k .x. X ) )
15	10, 12, 14	syl2an2r 595	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> E. k e. K X = ( k .x. X ) )
16		eqeq1 2196	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( v = ( k .x. X ) <-> X = ( k .x. X ) ) )
17	16	rexbidv 2491	. . . . . 6 |- ( v = X -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
18	17	elabg 2898	. . . . 5 |- ( X e. V -> ( X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
20	15, 19	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
21	1, 2, 3, 8, 20	lspsnel5a 13743	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
22	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> W e. LMod )
23	4, 1, 2	lspsncl 13725	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
24	23	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
25		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> k e. K )
26	4, 2	lspsnid 13740	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
27	26	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> X e. ( N ` { X } ) )
28	5, 6, 7, 1	lssvscl 13708	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) ) /\ ( k e. K /\ X e. ( N ` { X } ) ) ) -> ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
29	22, 24, 25, 27, 28	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
30		eleq1a 2261	. . . . 5 |- ( ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
32	31	rexlimdva 2607	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
33	32	abssdv 3244	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } C_ ( N ` { X } ) )
34	21, 33	eqssd 3187	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   E.wrex 2469   {csn 3607   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515  Scalarcsca 12595   .scvsca 12596   1rcur 13330   LModclmod 13620   LSubSpclss 13685   LSpanclspn 13719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-sbg 12965  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-ring 13369  df-lmod 13622  df-lssm 13686  df-lsp 13720

This theorem is referenced by:  lspsnel  13750