ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspsn Unicode version

Theorem lspsn 14120
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lspsn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lspsn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsn.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsn  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  =  {
v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X
) } )
Distinct variable groups:    k, F    v,
k, K    k, N, v    k, V, v    k, W, v    .x. , k, v   
k, X, v
Allowed substitution hint:    F( v)

Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2204 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 lspsn.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 simpl 109 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
4 lspsn.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspsn.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 lspsn.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
7 lspsn.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 14087 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  e.  ( LSubSp `  W ) )
9 eqid 2204 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
105, 7, 9lmod1cl 14019 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
114, 5, 6, 9lmodvs1 14020 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  F
)  .x.  X )  =  X )
1211eqcomd 2210 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  =  ( ( 1r
`  F )  .x.  X ) )
13 oveq1 5950 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1r `  F )  ->  (
k  .x.  X )  =  ( ( 1r
`  F )  .x.  X ) )
1413rspceeqv 2894 . . . . 5  |-  ( ( ( 1r `  F
)  e.  K  /\  X  =  ( ( 1r `  F )  .x.  X ) )  ->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X ) )
1510, 12, 14syl2an2r 595 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) )
16 eqeq1 2211 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X  ->  (
v  =  ( k 
.x.  X )  <->  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
1716rexbidv 2506 . . . . . 6  |-  ( v  =  X  ->  ( E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X )  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
1817elabg 2918 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
1918adantl 277 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
2015, 19mpbird 167 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) } )
211, 2, 3, 8, 20lspsnel5a 14114 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  C_  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) } )
223adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  W  e.  LMod )
234, 1, 2lspsncl 14096 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
2423adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  W
) )
25 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  k  e.  K )
264, 2lspsnid 14111 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
2726adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
285, 6, 7, 1lssvscl 14079 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  /\  ( k  e.  K  /\  X  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( k  .x.  X )  e.  ( N `  { X } ) )
2922, 24, 25, 27, 28syl22anc 1250 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  ( k  .x.  X )  e.  ( N `  { X } ) )
30 eleq1a 2276 . . . . 5  |-  ( ( k  .x.  X )  e.  ( N `  { X } )  -> 
( v  =  ( k  .x.  X )  ->  v  e.  ( N `  { X } ) ) )
3129, 30syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  ( v  =  ( k  .x.  X )  ->  v  e.  ( N `  { X } ) ) )
3231rexlimdva 2622 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X )  ->  v  e.  ( N `  { X } ) ) )
3332abssdv 3266 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  C_  ( N `  { X } ) )
3421, 33eqssd 3209 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  =  {
v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X
) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1372    e. wcel 2175   {cab 2190   E.wrex 2484   {csn 3632   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12774  Scalarcsca 12854   .scvsca 12855   1rcur 13663   LModclmod 13991   LSubSpclss 14056   LSpanclspn 14090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-sca 12867  df-vsca 12868  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278  df-sbg 13279  df-mgp 13625  df-ur 13664  df-ring 13702  df-lmod 13993  df-lssm 14057  df-lsp 14091
This theorem is referenced by:  ellspsn  14121
  Copyright terms: Public domain W3C validator