Theorem lspsn 14725

Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsn	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )

Distinct variable groups:   k, F   v, k, K   k, N, v   k, V, v   k, W, v   .x. , k, v   k, X, v

Allowed substitution hint:   F( v)

Proof of Theorem lspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		lspsn.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
4		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
5		lspsn.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
6		lspsn.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
7		lspsn.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
8	4, 5, 6, 7, 1	lss1d 14692	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } e. ( LSubSp ` W ) )
9		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
10	5, 7, 9	lmod1cl 14624	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` F ) e. K )
11	4, 5, 6, 9	lmodvs1 14625	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
12	11	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
13		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( k = ( 1r ` F ) -> ( k .x. X ) = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
14	13	rspceeqv 2948	. . . . 5 |- ( ( ( 1r ` F ) e. K /\ X = ( ( 1r ` F ) .x. X ) ) -> E. k e. K X = ( k .x. X ) )
15	10, 12, 14	syl2an2r 603	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> E. k e. K X = ( k .x. X ) )
16		eqeq1 2245	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( v = ( k .x. X ) <-> X = ( k .x. X ) ) )
17	16	rexbidv 2551	. . . . . 6 |- ( v = X -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
18	17	elabg 2972	. . . . 5 |- ( X e. V -> ( X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
20	15, 19	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
21	1, 2, 3, 8, 20	lspsnel5a 14719	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
22	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> W e. LMod )
23	4, 1, 2	lspsncl 14701	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
24	23	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
25		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> k e. K )
26	4, 2	lspsnid 14716	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
27	26	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> X e. ( N ` { X } ) )
28	5, 6, 7, 1	lssvscl 14684	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) ) /\ ( k e. K /\ X e. ( N ` { X } ) ) ) -> ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
29	22, 24, 25, 27, 28	syl22anc 1279	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
30		eleq1a 2310	. . . . 5 |- ( ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
32	31	rexlimdva 2668	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
33	32	abssdv 3322	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } C_ ( N ` { X } ) )
34	21, 33	eqssd 3265	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   {csn 3705   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   1rcur 14237   LModclmod 14596   LSubSpclss 14661   LSpanclspn 14695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696

This theorem is referenced by:  ellspsn  14726