Theorem lspsn 14395

Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsn	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )

Distinct variable groups:   k, F   v, k, K   k, N, v   k, V, v   k, W, v   .x. , k, v   k, X, v

Allowed substitution hint:   F( v)

Proof of Theorem lspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		lspsn.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
4		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
5		lspsn.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
6		lspsn.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
7		lspsn.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
8	4, 5, 6, 7, 1	lss1d 14362	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } e. ( LSubSp ` W ) )
9		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
10	5, 7, 9	lmod1cl 14294	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` F ) e. K )
11	4, 5, 6, 9	lmodvs1 14295	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
12	11	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
13		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( k = ( 1r ` F ) -> ( k .x. X ) = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
14	13	rspceeqv 2925	. . . . 5 |- ( ( ( 1r ` F ) e. K /\ X = ( ( 1r ` F ) .x. X ) ) -> E. k e. K X = ( k .x. X ) )
15	10, 12, 14	syl2an2r 597	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> E. k e. K X = ( k .x. X ) )
16		eqeq1 2236	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( v = ( k .x. X ) <-> X = ( k .x. X ) ) )
17	16	rexbidv 2531	. . . . . 6 |- ( v = X -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
18	17	elabg 2949	. . . . 5 |- ( X e. V -> ( X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
20	15, 19	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
21	1, 2, 3, 8, 20	lspsnel5a 14389	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
22	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> W e. LMod )
23	4, 1, 2	lspsncl 14371	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
24	23	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
25		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> k e. K )
26	4, 2	lspsnid 14386	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
27	26	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> X e. ( N ` { X } ) )
28	5, 6, 7, 1	lssvscl 14354	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) ) /\ ( k e. K /\ X e. ( N ` { X } ) ) ) -> ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
29	22, 24, 25, 27, 28	syl22anc 1272	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
30		eleq1a 2301	. . . . 5 |- ( ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
32	31	rexlimdva 2648	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
33	32	abssdv 3298	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } C_ ( N ` { X } ) )
34	21, 33	eqssd 3241	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   {csn 3666   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047  Scalarcsca 13128   .scvsca 13129   1rcur 13937   LModclmod 14266   LSubSpclss 14331   LSpanclspn 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-sbg 13553  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976  df-lmod 14268  df-lssm 14332  df-lsp 14366

This theorem is referenced by:  ellspsn  14396