Theorem lspsn 13507

Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsn	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )

Distinct variable groups:   k, F   v, k, K   k, N, v   k, V, v   k, W, v   .x. , k, v   k, X, v

Allowed substitution hint:   F( v)

Proof of Theorem lspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		lspsn.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
4		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
5		lspsn.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
6		lspsn.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
7		lspsn.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
8	4, 5, 6, 7, 1	lss1d 13475	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } e. ( LSubSp ` W ) )
9		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
10	5, 7, 9	lmod1cl 13410	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` F ) e. K )
11	4, 5, 6, 9	lmodvs1 13411	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
12	11	eqcomd 2183	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
13		oveq1 5884	. . . . . 6 |- ( k = ( 1r ` F ) -> ( k .x. X ) = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
14	13	rspceeqv 2861	. . . . 5 |- ( ( ( 1r ` F ) e. K /\ X = ( ( 1r ` F ) .x. X ) ) -> E. k e. K X = ( k .x. X ) )
15	10, 12, 14	syl2an2r 595	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> E. k e. K X = ( k .x. X ) )
16		eqeq1 2184	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( v = ( k .x. X ) <-> X = ( k .x. X ) ) )
17	16	rexbidv 2478	. . . . . 6 |- ( v = X -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
18	17	elabg 2885	. . . . 5 |- ( X e. V -> ( X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K X = ( k .x. X ) ) )
20	15, 19	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
21	1, 2, 3, 8, 20	lspsnel5a 13501	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
22	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> W e. LMod )
23	4, 1, 2	lspsncl 13484	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
24	23	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
25		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> k e. K )
26	4, 2	lspsnid 13498	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
27	26	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> X e. ( N ` { X } ) )
28	5, 6, 7, 1	lssvscl 13467	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) ) /\ ( k e. K /\ X e. ( N ` { X } ) ) ) -> ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
29	22, 24, 25, 27, 28	syl22anc 1239	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
30		eleq1a 2249	. . . . 5 |- ( ( k .x. X ) e. ( N ` { X } ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
32	31	rexlimdva 2594	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) -> v e. ( N ` { X } ) ) )
33	32	abssdv 3231	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } C_ ( N ` { X } ) )
34	21, 33	eqssd 3174	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   {csn 3594   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464  Scalarcsca 12541   .scvsca 12542   1rcur 13147   LModclmod 13382   LSubSpclss 13447   LSpanclspn 13478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448  df-lsp 13479

This theorem is referenced by:  lspsnel  13508