Theorem lsselg 14346

Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lsselg	|- ( ( W e. C /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )

Proof of Theorem lsselg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssss.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
2		lssss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssssg 14345	. . 3 |- ( ( W e. C /\ U e. S ) -> U C_ V )
4	3	3adant3 1041	. 2 |- ( ( W e. C /\ U e. S /\ X e. U ) -> U C_ V )
5		simp3 1023	. 2 |- ( ( W e. C /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. U )
6	4, 5	sseldd 3225	1 |- ( ( W e. C /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   ` cfv 5321   Basecbs 13053   LSubSpclss 14337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-fv 5329  df-ov 6013  df-inn 9127  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-lssm 14338

This theorem is referenced by:  lssvacl  14350  lssvsubcl  14351  lssvancl1  14352  lssvancl2  14353  lss0cl  14354  lssvscl  14360  lssvnegcl  14361  lspsnel6  14393  lspsnel5a  14395  lssats2  14399