ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lsselg Unicode version

Theorem lsselg 13637
Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lsselg  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  V )

Proof of Theorem lsselg
StepHypRef Expression
1 lssss.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lssss.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssssg 13636 . . 3  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  V )
433adant3 1018 . 2  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  U  C_  V )
5 simp3 1000 . 2  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  U )
64, 5sseldd 3170 1  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2159    C_ wss 3143   ` cfv 5230   Basecbs 12479   LSubSpclss 13628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1re 7922  ax-addrcl 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-fv 5238  df-ov 5893  df-inn 8937  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-lssm 13629
This theorem is referenced by:  lssvacl  13641  lssvsubcl  13642  lssvancl1  13643  lssvancl2  13644  lss0cl  13645  lssvscl  13651  lssvnegcl  13652  lspsnel6  13684  lspsnel5a  13686  lssats2  13690
  Copyright terms: Public domain W3C validator