ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lsselg Unicode version

Theorem lsselg 13486
Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lsselg  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  V )

Proof of Theorem lsselg
StepHypRef Expression
1 lssss.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lssss.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssssg 13485 . . 3  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  V )
433adant3 1017 . 2  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  U  C_  V )
5 simp3 999 . 2  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  U )
64, 5sseldd 3158 1  |-  ( ( W  e.  C  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3131   ` cfv 5218   Basecbs 12465   LSubSpclss 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5881  df-inn 8923  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-lssm 13481
This theorem is referenced by:  lssvacl  13490  lssvsubcl  13491  lssvancl1  13492  lssvancl2  13493  lss0cl  13494  lssvscl  13500  lssvnegcl  13501  lspsnel6  13533  lspsnel5a  13535  lssats2  13539
  Copyright terms: Public domain W3C validator