Theorem lspsnvsi 14376

Description: Span of a scalar product of a singleton. (Contributed by NM, 23-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnvsi	|- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		lspsn.n	. 2 |- N = ( LSpan ` W )
3		simp1 1021	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> W e. LMod )
4		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
5	4	snssd 3812	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> { X } C_ V )
6		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
7	6, 1, 2	lspcl 14349	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { X } C_ V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
8	3, 5, 7	syl2anc 411	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
9		lspsn.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` W )
10		lspsn.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
11		lspsn.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
12		simp2 1022	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> R e. K )
13	6, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 4	lspsneli 14373	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
14	1, 2, 3, 8, 13	lspsnel5a 14368	1 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   {csn 3666   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027  Scalarcsca 13108   .scvsca 13109   LModclmod 14245   LSubSpclss 14310   LSpanclspn 14344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-sbg 13533  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-lmod 14247  df-lssm 14311  df-lsp 14345

This theorem is referenced by:  lspsnneg  14378