Theorem lspsnel5a 14395

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5a.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5a.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5a.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5a	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspsnel5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5a.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lspsnel5a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnel5a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspsnel5a.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspsnel5a.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3	lsselg 14346	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
8	5, 6, 1, 7	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	lspsnel5 14394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10	1, 9	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  {csn 3666  ‘cfv 5321  Basecbs 13053  LModclmod 14272  LSubSpclss 14337  LSpanclspn 14371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-lmod 14274  df-lssm 14338  df-lsp 14372

This theorem is referenced by:  lssats2  14399  lspsn  14401  lspsnvsi  14403