Theorem ltsub13d 8730

Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltsub13d.4	|- ( ph -> A < ( B - C ) )

Assertion

Ref	Expression
ltsub13d	|- ( ph -> C < ( B - A ) )

Proof of Theorem ltsub13d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsub13d.4	. 2 |- ( ph -> A < ( B - C ) )
2		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5		ltsub13 8622	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < ( B - C ) <-> C < ( B - A ) ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( A < ( B - C ) <-> C < ( B - A ) ) )
7	1, 6	mpbid 147	1 |- ( ph -> C < ( B - A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   < clt 8213   - cmin 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-sub 8351  df-neg 8352

This theorem is referenced by:  lgsquadlem1  15805