ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsub13 Unicode version

Theorem ltsub13 8228
Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltsub13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  ( B  -  C )  <->  C  <  ( B  -  A ) ) )

Proof of Theorem ltsub13
StepHypRef Expression
1 ltaddsub 8221 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  +  C
)  <  B  <->  A  <  ( B  -  C ) ) )
2 ltaddsub2 8222 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  +  C
)  <  B  <->  C  <  ( B  -  A ) ) )
31, 2bitr3d 189 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  ( B  -  C )  <->  C  <  ( B  -  A ) ) )
433com23 1188 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  ( B  -  C )  <->  C  <  ( B  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   RRcr 7642    + caddc 7646    < clt 7823    - cmin 7956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-ltxr 7828  df-sub 7958  df-neg 7959
This theorem is referenced by:  ltsub13d  8336  sincosq1sgn  12953  sincosq2sgn  12954
  Copyright terms: Public domain W3C validator