Theorem ltsub13 8332

Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltsub13	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < ( B - C ) <-> C < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem ltsub13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddsub 8325	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + C ) < B <-> A < ( B - C ) ) )
2		ltaddsub2 8326	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + C ) < B <-> C < ( B - A ) ) )
3	1, 2	bitr3d 189	. 2 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < ( B - C ) <-> C < ( B - A ) ) )
4	3	3com23 1198	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < ( B - C ) <-> C < ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 967   e. wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   RRcr 7743   + caddc 7747   < clt 7924   - cmin 8060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-ltxr 7929  df-sub 8062  df-neg 8063

This theorem is referenced by:  ltsub13d  8440  sincosq1sgn  13288  sincosq2sgn  13289