Theorem mapex 6556

Description: The class of all functions mapping one set to another is a set. Remark after Definition 10.24 of [Kunen] p. 31. (Contributed by Raph Levien, 4-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapex	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { f | f : A --> B } e. _V )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hints:   C( f)   D( f)

Proof of Theorem mapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5298	. . . 4 |- ( f : A --> B -> f C_ ( A X. B ) )
2	1	ss2abi 3174	. . 3 |- { f | f : A --> B } C_ { f | f C_ ( A X. B ) }
3		df-pw 3517	. . 3 |- ~P ( A X. B ) = { f | f C_ ( A X. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3137	. 2 |- { f | f : A --> B } C_ ~P ( A X. B )
5		xpexg 4661	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A X. B ) e. _V )
6		pwexg 4112	. . 3 |- ( ( A X. B ) e. _V -> ~P ( A X. B ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ~P ( A X. B ) e. _V )
8		ssexg 4075	. 2 |- ( ( { f | f : A --> B } C_ ~P ( A X. B ) /\ ~P ( A X. B ) e. _V ) -> { f | f : A --> B } e. _V )
9	4, 7, 8	sylancr 411	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { f | f : A --> B } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   {cab 2126   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   X. cxp 4545   -->wf 5127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135

This theorem is referenced by:  fnmap  6557  mapvalg  6560  cnovex  12404  ispsmet  12531  cncfval  12767  nninfex  13380