Theorem mapex 6541

Description: The class of all functions mapping one set to another is a set. Remark after Definition 10.24 of [Kunen] p. 31. (Contributed by Raph Levien, 4-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapex	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { f | f : A --> B } e. _V )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hints:   C( f)   D( f)

Proof of Theorem mapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5285	. . . 4 |- ( f : A --> B -> f C_ ( A X. B ) )
2	1	ss2abi 3164	. . 3 |- { f | f : A --> B } C_ { f | f C_ ( A X. B ) }
3		df-pw 3507	. . 3 |- ~P ( A X. B ) = { f | f C_ ( A X. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3127	. 2 |- { f | f : A --> B } C_ ~P ( A X. B )
5		xpexg 4648	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A X. B ) e. _V )
6		pwexg 4099	. . 3 |- ( ( A X. B ) e. _V -> ~P ( A X. B ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ~P ( A X. B ) e. _V )
8		ssexg 4062	. 2 |- ( ( { f | f : A --> B } C_ ~P ( A X. B ) /\ ~P ( A X. B ) e. _V ) -> { f | f : A --> B } e. _V )
9	4, 7, 8	sylancr 410	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { f | f : A --> B } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   {cab 2123   _Vcvv 2681   C_ wss 3066   ~Pcpw 3505   X. cxp 4532   -->wf 5114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122

This theorem is referenced by:  fnmap  6542  mapvalg  6545  cnovex  12354  ispsmet  12481  cncfval  12717  nninfex  13194