Theorem nninfex 7110

Description: ℕ_∞ is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfex	|- ℕ∞ e. _V

Proof of Theorem nninfex

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nninf 7109	. 2 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
2		2onn 6512	. . . . . 6 |- 2o e. om
3	2	elexi 2747	. . . . 5 |- 2o e. _V
4		omex 4586	. . . . 5 |- om e. _V
5	3, 4	mapval 6650	. . . 4 |- ( 2o ^m om ) = { g | g : om --> 2o }
6		mapex 6644	. . . . 5 |- ( ( om e. _V /\ 2o e. _V ) -> { g | g : om --> 2o } e. _V )
7	4, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 |- { g | g : om --> 2o } e. _V
8	5, 7	eqeltri 2248	. . 3 |- ( 2o ^m om ) e. _V
9	8	rabex 4142	. 2 |- { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) } e. _V
10	1, 9	eqeltri 2248	1 |- ℕ∞ e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2146   {cab 2161   A.wral 2453   {crab 2457   _Vcvv 2735   C_ wss 3127   suc csuc 4359   omcom 4583   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   2oc2o 6401   ^m cmap 6638  ℕ_∞xnninf 7108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1o 6407  df-2o 6408  df-map 6640  df-nninf 7109

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  14308  nninffeq  14310  exmidsbthrlem  14311