Theorem nninfex 7182

Description: ℕ_∞ is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfex	|- ℕ∞ e. _V

Proof of Theorem nninfex

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nninf 7181	. 2 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
2		2onn 6576	. . . . . 6 |- 2o e. om
3	2	elexi 2772	. . . . 5 |- 2o e. _V
4		omex 4626	. . . . 5 |- om e. _V
5	3, 4	mapval 6716	. . . 4 |- ( 2o ^m om ) = { g | g : om --> 2o }
6		mapex 6710	. . . . 5 |- ( ( om e. _V /\ 2o e. _V ) -> { g | g : om --> 2o } e. _V )
7	4, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 |- { g | g : om --> 2o } e. _V
8	5, 7	eqeltri 2266	. . 3 |- ( 2o ^m om ) e. _V
9	8	rabex 4174	. 2 |- { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) } e. _V
10	1, 9	eqeltri 2266	1 |- ℕ∞ e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   {crab 2476   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   suc csuc 4397   omcom 4623   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   2oc2o 6465   ^m cmap 6704  ℕ_∞xnninf 7180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1o 6471  df-2o 6472  df-map 6706  df-nninf 7181

This theorem is referenced by:  nninfinf  10517  nninfomnilem  15578  nninffeq  15580  exmidsbthrlem  15582