Theorem nninfex 7120

Description: ℕ_∞ is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfex	|- ℕ∞ e. _V

Proof of Theorem nninfex

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nninf 7119	. 2 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
2		2onn 6522	. . . . . 6 |- 2o e. om
3	2	elexi 2750	. . . . 5 |- 2o e. _V
4		omex 4593	. . . . 5 |- om e. _V
5	3, 4	mapval 6660	. . . 4 |- ( 2o ^m om ) = { g | g : om --> 2o }
6		mapex 6654	. . . . 5 |- ( ( om e. _V /\ 2o e. _V ) -> { g | g : om --> 2o } e. _V )
7	4, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 |- { g | g : om --> 2o } e. _V
8	5, 7	eqeltri 2250	. . 3 |- ( 2o ^m om ) e. _V
9	8	rabex 4148	. 2 |- { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) } e. _V
10	1, 9	eqeltri 2250	1 |- ℕ∞ e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   suc csuc 4366   omcom 4590   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   2oc2o 6411   ^m cmap 6648  ℕ_∞xnninf 7118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-nninf 7119

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  14770  nninffeq  14772  exmidsbthrlem  14773