Theorem nninfex 7223

Description: ℕ_∞ is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfex	|- ℕ∞ e. _V

Proof of Theorem nninfex

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nninf 7222	. 2 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
2		2onn 6607	. . . . . 6 |- 2o e. om
3	2	elexi 2784	. . . . 5 |- 2o e. _V
4		omex 4641	. . . . 5 |- om e. _V
5	3, 4	mapval 6747	. . . 4 |- ( 2o ^m om ) = { g | g : om --> 2o }
6		mapex 6741	. . . . 5 |- ( ( om e. _V /\ 2o e. _V ) -> { g | g : om --> 2o } e. _V )
7	4, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 |- { g | g : om --> 2o } e. _V
8	5, 7	eqeltri 2278	. . 3 |- ( 2o ^m om ) e. _V
9	8	rabex 4188	. 2 |- { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) } e. _V
10	1, 9	eqeltri 2278	1 |- ℕ∞ e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   suc csuc 4412   omcom 4638   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   2oc2o 6496   ^m cmap 6735  ℕ_∞xnninf 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1o 6502  df-2o 6503  df-map 6737  df-nninf 7222

This theorem is referenced by:  nninfinf  10588  nninfomnilem  15955  nninffeq  15957  exmidsbthrlem  15961