Theorem nninfex 7451

Description: ℕ_∞ is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfex	|- ℕ∞ e. _V

Proof of Theorem nninfex

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nninf 7450	. 2 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
2		2onn 6784	. . . . . 6 |- 2o e. om
3	2	elexi 2834	. . . . 5 |- 2o e. _V
4		omex 4735	. . . . 5 |- om e. _V
5	3, 4	mapval 6924	. . . 4 |- ( 2o ^m om ) = { g | g : om --> 2o }
6		mapex 6918	. . . . 5 |- ( ( om e. _V /\ 2o e. _V ) -> { g | g : om --> 2o } e. _V )
7	4, 3, 6	mp2an 430	. . . 4 |- { g | g : om --> 2o } e. _V
8	5, 7	eqeltri 2311	. . 3 |- ( 2o ^m om ) e. _V
9	8	rabex 4275	. 2 |- { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) } e. _V
10	1, 9	eqeltri 2311	1 |- ℕ∞ e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   suc csuc 4505   omcom 4732   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   2oc2o 6671   ^m cmap 6912  ℕ_∞xnninf 7449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-nninf 7450

This theorem is referenced by:  nninfinf  10858  nninfomnilem  16966  nninffeq  16968  exmidsbthrlem  16972