Theorem fnmap 6680

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	|- ^m Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6675	. 2 |- ^m = ( x e. _V , y e. _V |-> { f | f : y --> x } )
2		vex 2755	. . 3 |- y e. _V
3		vex 2755	. . 3 |- x e. _V
4		mapex 6679	. . 3 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V ) -> { f | f : y --> x } e. _V )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- { f | f : y --> x } e. _V
6	1, 5	fnmpoi 6228	1 |- ^m Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   e. wcel 2160   {cab 2175   _Vcvv 2752   X. cxp 4642   Fn wfn 5230   -->wf 5231   ^m cmap 6673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-map 6675

This theorem is referenced by:  mapsnen  6836  map1  6837  mapen  6873  mapdom1g  6874  mapxpen  6875  xpmapenlem  6876  hashfacen  10847  omctfn  12493  ismhm  12910  mhmex  12911  rhmex  13504  cnfval  14146  cnpfval  14147  cnpval  14150  ismet  14296  isxmet  14297  xmetunirn  14310