Theorem fnmap 6542

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	|- ^m Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6537	. 2 |- ^m = ( x e. _V , y e. _V |-> { f | f : y --> x } )
2		vex 2684	. . 3 |- y e. _V
3		vex 2684	. . 3 |- x e. _V
4		mapex 6541	. . 3 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V ) -> { f | f : y --> x } e. _V )
5	2, 3, 4	mp2an 422	. 2 |- { f | f : y --> x } e. _V
6	1, 5	fnmpoi 6095	1 |- ^m Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   e. wcel 1480   {cab 2123   _Vcvv 2681   X. cxp 4532   Fn wfn 5113   -->wf 5114   ^m cmap 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537

This theorem is referenced by:  mapsnen  6698  map1  6699  mapen  6733  mapdom1g  6734  mapxpen  6735  xpmapenlem  6736  hashfacen  10572  cnfval  12352  cnpfval  12353  cnpval  12356  ismet  12502  isxmet  12503  xmetunirn  12516