Theorem fnmap 6630

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	|- ^m Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6625	. 2 |- ^m = ( x e. _V , y e. _V |-> { f | f : y --> x } )
2		vex 2733	. . 3 |- y e. _V
3		vex 2733	. . 3 |- x e. _V
4		mapex 6629	. . 3 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V ) -> { f | f : y --> x } e. _V )
5	2, 3, 4	mp2an 424	. 2 |- { f | f : y --> x } e. _V
6	1, 5	fnmpoi 6181	1 |- ^m Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   e. wcel 2141   {cab 2156   _Vcvv 2730   X. cxp 4607   Fn wfn 5191   -->wf 5192   ^m cmap 6623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-map 6625

This theorem is referenced by:  mapsnen  6786  map1  6787  mapen  6821  mapdom1g  6822  mapxpen  6823  xpmapenlem  6824  hashfacen  10760  omctfn  12387  ismhm  12674  cnfval  12949  cnpfval  12950  cnpval  12953  ismet  13099  isxmet  13100  xmetunirn  13113