Theorem cnovex 13247

Description: The class of all continuous functions from a topology to another is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnovex	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Proof of Theorem cnovex

Dummy variables f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 13068	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
2		toptopon2 13068	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
3		cnfval 13245	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
4	1, 2, 3	syl2anb 291	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
5		uniexg 4433	. . . . 5 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
6		uniexg 4433	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
7		mapvalg 6648	. . . . 5 |- ( ( U. K e. _V /\ U. J e. _V ) -> ( U. K ^m U. J ) = { z | z : U. J --> U. K } )
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) = { z | z : U. J --> U. K } )
9		mapex 6644	. . . . 5 |- ( ( U. J e. _V /\ U. K e. _V ) -> { z | z : U. J --> U. K } e. _V )
10	6, 5, 9	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { z | z : U. J --> U. K } e. _V )
11	8, 10	eqeltrd 2252	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) e. _V )
12		rabexg 4141	. . 3 |- ( ( U. K ^m U. J ) e. _V -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
14	4, 13	eqeltrd 2252	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   {cab 2161   A.wral 2453   {crab 2457   _Vcvv 2735   U.cuni 3805   `'ccnv 4619   "cima 4623   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   ^m cmap 6638   Topctop 13046  TopOnctopon 13059   Cn ccn 13236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-top 13047  df-topon 13060  df-cn 13239

This theorem is referenced by:  hmeofn  13353  hmeofvalg  13354