Theorem cnovex 12836

Description: The class of all continuous functions from a topology to another is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnovex	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Proof of Theorem cnovex

Dummy variables f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 12657	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
2		toptopon2 12657	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
3		cnfval 12834	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
4	1, 2, 3	syl2anb 289	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
5		uniexg 4417	. . . . 5 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
6		uniexg 4417	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
7		mapvalg 6624	. . . . 5 |- ( ( U. K e. _V /\ U. J e. _V ) -> ( U. K ^m U. J ) = { z | z : U. J --> U. K } )
8	5, 6, 7	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) = { z | z : U. J --> U. K } )
9		mapex 6620	. . . . 5 |- ( ( U. J e. _V /\ U. K e. _V ) -> { z | z : U. J --> U. K } e. _V )
10	6, 5, 9	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { z | z : U. J --> U. K } e. _V )
11	8, 10	eqeltrd 2243	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) e. _V )
12		rabexg 4125	. . 3 |- ( ( U. K ^m U. J ) e. _V -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
14	4, 13	eqeltrd 2243	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   {crab 2448   _Vcvv 2726   U.cuni 3789   `'ccnv 4603   "cima 4607   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-top 12636  df-topon 12649  df-cn 12828

This theorem is referenced by:  hmeofn  12942  hmeofvalg  12943