Theorem cnovex 14375

Description: The class of all continuous functions from a topology to another is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnovex	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Proof of Theorem cnovex

Dummy variables f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 14198	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
2		toptopon2 14198	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
3		cnfval 14373	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
4	1, 2, 3	syl2anb 291	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
5		uniexg 4471	. . . . 5 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
6		uniexg 4471	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
7		mapvalg 6714	. . . . 5 |- ( ( U. K e. _V /\ U. J e. _V ) -> ( U. K ^m U. J ) = { z | z : U. J --> U. K } )
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) = { z | z : U. J --> U. K } )
9		mapex 6710	. . . . 5 |- ( ( U. J e. _V /\ U. K e. _V ) -> { z | z : U. J --> U. K } e. _V )
10	6, 5, 9	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { z | z : U. J --> U. K } e. _V )
11	8, 10	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) e. _V )
12		rabexg 4173	. . 3 |- ( ( U. K ^m U. J ) e. _V -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
14	4, 13	eqeltrd 2270	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   {crab 2476   _Vcvv 2760   U.cuni 3836   `'ccnv 4659   "cima 4663   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704   Topctop 14176  TopOnctopon 14189   Cn ccn 14364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-top 14177  df-topon 14190  df-cn 14367

This theorem is referenced by:  hmeofn  14481  hmeofvalg  14482