Theorem cnovex 12990

Description: The class of all continuous functions from a topology to another is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnovex	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Proof of Theorem cnovex

Dummy variables f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 12811	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
2		toptopon2 12811	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
3		cnfval 12988	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
4	1, 2, 3	syl2anb 289	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
5		uniexg 4424	. . . . 5 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
6		uniexg 4424	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
7		mapvalg 6636	. . . . 5 |- ( ( U. K e. _V /\ U. J e. _V ) -> ( U. K ^m U. J ) = { z | z : U. J --> U. K } )
8	5, 6, 7	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) = { z | z : U. J --> U. K } )
9		mapex 6632	. . . . 5 |- ( ( U. J e. _V /\ U. K e. _V ) -> { z | z : U. J --> U. K } e. _V )
10	6, 5, 9	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { z | z : U. J --> U. K } e. _V )
11	8, 10	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) e. _V )
12		rabexg 4132	. . 3 |- ( ( U. K ^m U. J ) e. _V -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
14	4, 13	eqeltrd 2247	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730   U.cuni 3796   `'ccnv 4610   "cima 4614   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-top 12790  df-topon 12803  df-cn 12982

This theorem is referenced by:  hmeofn  13096  hmeofvalg  13097