Theorem mapsspm 6787

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	|- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6774	. . . 4 |- ( f e. ( A ^m B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2	1	simprd 114	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> B e. _V )
3	1	simpld 112	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> A e. _V )
4		elmapi 6775	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f : B --> A )
5		fpmg 6779	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V /\ f : B --> A ) -> f e. ( A ^pm B ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1250	. 2 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f e. ( A ^pm B ) )
7	6	ssriv 3201	1 |- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Syntax hints:   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   C_ wss 3170   -->wf 5281  (class class class)co 5962   ^m cmap 6753   ^pm cpm 6754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-map 6755  df-pm 6756

This theorem is referenced by:  mapsspw  6789