Theorem mapsspm 6709

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	|- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6696	. . . 4 |- ( f e. ( A ^m B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2	1	simprd 114	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> B e. _V )
3	1	simpld 112	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> A e. _V )
4		elmapi 6697	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f : B --> A )
5		fpmg 6701	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V /\ f : B --> A ) -> f e. ( A ^pm B ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1249	. 2 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f e. ( A ^pm B ) )
7	6	ssriv 3174	1 |- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Syntax hints:   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   -->wf 5231  (class class class)co 5897   ^m cmap 6675   ^pm cpm 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-map 6677  df-pm 6678

This theorem is referenced by:  mapsspw  6711