Theorem mapsspm 6506

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	|- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6493	. . . 4 |- ( f e. ( A ^m B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2	1	simprd 113	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> B e. _V )
3	1	simpld 111	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> A e. _V )
4		elmapi 6494	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f : B --> A )
5		fpmg 6498	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V /\ f : B --> A ) -> f e. ( A ^pm B ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1184	. 2 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f e. ( A ^pm B ) )
7	6	ssriv 3051	1 |- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Syntax hints:   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   C_ wss 3021   -->wf 5055  (class class class)co 5706   ^m cmap 6472   ^pm cpm 6473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-map 6474  df-pm 6475

This theorem is referenced by:  mapsspw  6508