Theorem mapsspm 6576

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	|- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6563	. . . 4 |- ( f e. ( A ^m B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2	1	simprd 113	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> B e. _V )
3	1	simpld 111	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> A e. _V )
4		elmapi 6564	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f : B --> A )
5		fpmg 6568	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V /\ f : B --> A ) -> f e. ( A ^pm B ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1216	. 2 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f e. ( A ^pm B ) )
7	6	ssriv 3101	1 |- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Syntax hints:   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   -->wf 5119  (class class class)co 5774   ^m cmap 6542   ^pm cpm 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544  df-pm 6545

This theorem is referenced by:  mapsspw  6578