Theorem mapsspm 6953

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	|- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6933	. . . 4 |- ( f e. ( A ^m B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2	1	simprd 114	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> B e. _V )
3	1	simpld 112	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> A e. _V )
4		elmapi 6934	. . 3 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f : B --> A )
5		fpmg 6945	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V /\ f : B --> A ) -> f e. ( A ^pm B ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1278	. 2 |- ( f e. ( A ^m B ) -> f e. ( A ^pm B ) )
7	6	ssriv 3252	1 |- ( A ^m B ) C_ ( A ^pm B )

Syntax hints:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   -->wf 5368  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912   ^pm cpm 6913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-map 6914  df-pm 6915

This theorem is referenced by:  mapsspw  6955